Questão 11 - Determine o comprimento da curva dada:
\vec{r}(t)=(2 \cos t, \sqrt{5} t, 2 \operatorname{sen}(t)), \quad-2 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;\sqrt{5}\,t,\;2\sin t\bigr), \quad -2 \le t \le 2
e pede o comprimento de arco. Para isso vamos usar o conceito de comprimento de curva em ℝ³, que diz
L = \int_{a}^{b} \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t) = \bigl(-2\sin t,\;\sqrt{5},\;2\cos t\bigr).

Passo 3

Agora obtemos a norma de \vec{r}\,'(t):
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (\sqrt{5})^2 + (2\cos t)^2} = \sqrt{4\sin^2 t + 5 + 4\cos^2 t} = \sqrt{4(\sin^2 t + \cos^2 t) + 5} = \sqrt{9} = 3.
Note que a velocidade é constante igual a 3.

Passo 4

Como \|\vec{r}\,'(t)\|=3 é constante, o comprimento é
L = \int_{-2}^{2} 3\,dt = 3\,\bigl[t\bigr]_{-2}^{2} = 3\,(2 - (-2)) = 3 \times 4 = 12.

Resposta

O comprimento da curva é 12.

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