Questão 8 - Calcule a integral das seguintes funções vetoriais:
\int t \vec{i}+(2-t) \vec{j}+2 t \vec{k} d t.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função vetorial \vec{r}(t) = t\,\vec{i} + (2 - t)\,\vec{j} + 2t\,\vec{k}.
O conteúdo é integração de funções vetoriais, que consiste em integrar cada componente escalar separadamente.

Passo 2

Para a componente em \vec{i}, temos
r_i(t) = t.
Aplicando a regra básica de potência,
\int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C_1.

Passo 3

Para a componente em \vec{j}, temos
r_j(t) = 2 - t.
Separamos e integramos termo a termo:
\int (2 - t)\,dt = \int 2\,dt - \int t\,dt = 2t - \frac{t^2}{2} + C_2.

Passo 4

Para a componente em \vec{k}, temos
r_k(t) = 2t.
Novamente pela regra de potência,
\int 2t\,dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C_3 = t^2 + C_3.

Passo 5

Definindo o vetor constante de integração \displaystyle \vec{C} = C_1\,\vec{i} + C_2\,\vec{j} + C_3\,\vec{k},
juntamos as componentes integradas para obter a antiderivada de \vec{r}(t).

Resposta

\int \bigl(t\,\vec{i} + (2 - t)\,\vec{j} + 2t\,\vec{k}\bigr)\,dt = \frac{t^2}{2}\,\vec{i} + \Bigl(2t - \frac{t^2}{2}\Bigr)\,\vec{j} + t^2\,\vec{k} + \vec{C}.

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