Questão 8 - Calcule a integral das seguintes funções vetoriais:
\int_{-2}^{4}\left(t, t, t^{2}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial \displaystyle \int_{-2}^{4}\bigl(t,\,t,\,t^{2}\bigr)\,dt.
O conteúdo é integração de funções vetoriais, que se faz integrando cada componente separadamente usando integrais indefinidas básicas.

Passo 2

Escrevemos a integral componente a componente:
\int_{-2}^{4}\bigl(t,\,t,\,t^{2}\bigr)\,dt = \Bigl( \int_{-2}^{4}t\,dt,\; \int_{-2}^{4}t\,dt,\; \int_{-2}^{4}t^{2}\,dt \Bigr).

Passo 3

Calculamos cada integral:
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}, \qquad \int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.
Logo,
\int_{-2}^{4}t\,dt =\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{-2}^{4} =\frac{4^{2}}{2}-\frac{(-2)^{2}}{2} =8-2=6,
\int_{-2}^{4}t^{2}\,dt =\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-2}^{4} =\frac{4^{3}}{3}-\frac{(-2)^{3}}{3} =\frac{64}{3}-\Bigl(-\frac{8}{3}\Bigr) =\frac{72}{3}=24.

Passo 4

Reunindo os resultados nas componentes, obtemos
\int_{-2}^{4}\bigl(t,\,t,\,t^{2}\bigr)\,dt =(6,\,6,\,24).

Resposta

(6,\,6,\,24)

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