Questão 8 - Calcule a integral das seguintes funções vetoriais:
\int_{\pi / 4}^{\pi}(\operatorname{sen}(t), t) d t.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{\pi/4}^{\pi}(\sin(t),\,t)\,dt.
O conteúdo é integração de função vetorial por componentes.

Passo 2

Separamos em duas integrais escalares:
\int_{\pi/4}^{\pi}(\sin t,t)\,dt = \Bigl(\int_{\pi/4}^{\pi}\sin t\,dt,\;\int_{\pi/4}^{\pi}t\,dt\Bigr).

Passo 3

Para a primeira componente usamos \int\sin t\,dt=-\cos t. Assim,
\int_{\pi/4}^{\pi}\sin t\,dt =\bigl[-\cos t\bigr]_{\pi/4}^{\pi} =(-\cos\pi)-(-\cos(\tfrac\pi4)) =1+\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Para a segunda componente usamos \int t\,dt=\tfrac{t^2}{2}. Logo,
\int_{\pi/4}^{\pi}t\,dt =\left[\frac{t^2}{2}\right]_{\pi/4}^{\pi} =\frac{\pi^2}{2}-\frac{(\pi/4)^2}{2} =\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi^2}{32} =\frac{15\pi^2}{32}.

Resposta

\int_{\pi/4}^{\pi}(\sin t,t)\,dt =\Bigl(1+\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;\tfrac{15\pi^2}{32}\Bigr).

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