Questão 6 Calcule a integral de superfície
\iint_{S}(x+z) d S
onde S é o paralelogramo parametrizado por
\vec{r}(u, v)=(u, v, 2 u+v), \quad 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 1 .
□ 0
30 \sqrt{6}
15 \sqrt{6}
□ 15
10 \sqrt{6}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x+z)\,dS
onde S é o paralelogramo parametrizado por
\vec{r}(u,v)=(u,v,2u+v),\qquad 0\le u\le 2,\;0\le v\le 1.
Informações dadas (tiradas do enunciado):
  • A parametrização da superfície: \vec{r}(u,v)=(u,v,2u+v).
  • O domínio dos parâmetros: \;0\le u\le 2,\;0\le v\le 1.
  • A função a integrar sobre a superfície é x+z, isto é, soma da primeira e da terceira coordenada.
O que precisamos devolver: o valor numérico da integral de superfície indicada.

Passo 2

Transformar a integral de superfície para coordenadas (u,v).
Regra útil (mini-aula): se uma superfície S é parametrizada por \vec{r}(u,v) com (u,v) em um domínio D, então a integral de superfície de uma função f(x,y,z) sobre S é
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS = \iint_{D} f\big(\vec{r}(u,v)\big)\,\big|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big|\,du\,dv,
onde \vec{r}_u e \vec{r}_v são as derivadas parciais de \vec{r} e \vec{r}_u\times\vec{r}_v é o produto vetorial, cuja magnitude dá a “área elemental” dS em termos de du\,dv.
Aqui:
\vec{r}(u,v)=(u,v,2u+v).
Calculemos as derivadas parciais:
\vec{r}_u=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}=(1,0,2), \qquad \vec{r}_v=\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(0,1,1).

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v e sua magnitude.
Mini-aula rápida sobre produto vetorial: para vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3),
(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3)=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).
Aplicando aos nossos vetores:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = (1,0,2)\times(0,1,1).
Computando componente a componente:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = (0\cdot1-2\cdot1,\;2\cdot0-1\cdot1,\;1\cdot1-0\cdot0)=(-2,-1,1).
A magnitude (norma) é
\big|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Observação: é constante — isso simplifica bastante a integral.

Passo 4

Trocar a função x+z para as variáveis (u,v) e montar a integral dupla.
Pegar x e z da parametrização: x=u e z=2u+v (peguei estes dados da parametrização fornecida).
Portanto, a função a integrar em (u,v) é
x+z = u + (2u+v) = 3u + v.
Usando a fórmula do Passo 2:
\iint_{S}(x+z)\,dS = \iint_{D} (3u+v)\,\big|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\big|\,du\,dv = \iint_{0\le u\le 2,\;0\le v\le 1} (3u+v)\,\sqrt{6}\;du\,dv.
Como \sqrt{6} é constante, podemos tirá-lo para fora:
\iint_{S}(x+z)\,dS = \sqrt{6}\int_{u=0}^{2}\int_{v=0}^{1} (3u+v)\,dv\,du.

Passo 5

Calcular a integral iterada com detalhes (passo a passo que dá para fazer sem calculadora).
Primeiro a integral em v:
\int_{v=0}^{1} (3u+v)\,dv = \int_{0}^{1} 3u\,dv + \int_{0}^{1} v\,dv.
Aqui 3u é constante em relação a v, então
\int_{0}^{1} 3u\,dv = 3u\cdot(1-0)=3u, \qquad \int_{0}^{1} v\,dv = \left.\frac{v^2}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Logo a integral interna vale
\int_{0}^{1} (3u+v)\,dv = 3u+\frac{1}{2}.
Agora integramos em u:
\int_{u=0}^{2}\left(3u+\frac{1}{2}\right)\,du = \int_{0}^{2} 3u\,du + \int_{0}^{2} \frac{1}{2}\,du.
Calcule cada parcela:
\int_{0}^{2} 3u\,du = 3\cdot\left.\frac{u^2}{2}\right|_{0}^{2} = 3\cdot\frac{4}{2}=3\cdot 2 = 6,
\int_{0}^{2} \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot(2-0)=1.
Somando:
\int_{0}^{2}\left(3u+\frac{1}{2}\right)\,du = 6+1 = 7.
Finalmente:
\iint_{S}(x+z)\,dS = \sqrt{6}\times 7 = 7\sqrt{6}.

Resposta

7\sqrt{6}

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