Questão 1 Seja
f(x, y, z)=7 x^{3}-\sqrt{7} x y+14 z .
Determine a derivada direcional de f no ponto P(1,1,0) na direção do vetor
v=\mathbf{i}-7 \mathbf{j}+\mathbf{k} .
\frac{35-6 \sqrt{7}}{\sqrt{51}}
\frac{21-\sqrt{7}}{\sqrt{51}}
35+6 \sqrt{7}
\frac{35+7 \sqrt{7}}{\sqrt{51}}
\frac{35+6 \sqrt{7}}{\sqrt{51}}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x,y,z)=7x^{3}-\sqrt{7}\,x y+14z.
  • O ponto P(1,1,0).
  • O vetor direção v=\mathbf{i}-7\mathbf{j}+\mathbf{k}.
O que se pede:
  • Determinar a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor v.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais e como calculá-las (passo a passo). A derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x}, é a derivada de f considerando y e z como constantes. Analogamente para \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.
Calculemos cada parcial aplicando regras usuais de derivação (potência, constante multiplicativa, produto simples):
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}:
    \frac{\partial}{\partial x}\big(7x^{3}\big)=21x^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial x}\big(-\sqrt{7}\,xy\big)=-\sqrt{7}\,y, \quad \frac{\partial}{\partial x}\big(14z\big)=0.
    Portanto
    \frac{\partial f}{\partial x}=21x^{2}-\sqrt{7}\,y.
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}:
    \frac{\partial}{\partial y}\big(7x^{3}\big)=0, \quad \frac{\partial}{\partial y}\big(-\sqrt{7}\,xy\big)=-\sqrt{7}\,x, \quad \frac{\partial}{\partial y}\big(14z\big)=0.
    Portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=-\sqrt{7}\,x.
  • Para \frac{\partial f}{\partial z}:
    \frac{\partial}{\partial z}\big(7x^{3}\big)=0, \quad \frac{\partial}{\partial z}\big(-\sqrt{7}\,xy\big)=0, \quad \frac{\partial}{\partial z}\big(14z\big)=14.
    Portanto
    \frac{\partial f}{\partial z}=14.

Passo 3

Agora formamos o gradiente de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Avalie o gradiente no ponto P(1,1,0):
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{P}=21\cdot1^{2}-\sqrt{7}\cdot1=21-\sqrt{7},
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{P}=-\sqrt{7}\cdot1=-\sqrt{7},
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{P}=14.
Logo
\nabla f(1,1,0)=\big(21-\sqrt{7},\;-\sqrt{7},\;14\big).

Passo 4

Para calcular a derivada direcional na direção de um vetor v devemos usar o vetor unitário na direção de v. Primeiro calcule o comprimento (norma) de v. Para um vetor v=(v_1,v_2,v_3),
\|v\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Aqui v=(1,-7,1), então
\|v\|=\sqrt{1^{2}+(-7)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+49+1}=\sqrt{51}.
O vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{51}},\;-\frac{7}{\sqrt{51}},\;\frac{1}{\sqrt{51}}\right).

Passo 5

Agora a fórmula chave: a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário u é o produto escalar entre o gradiente em P e u:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
O produto escalar entre dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é
(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aplicando isso:
D_{u}f(1,1,0)=\big(21-\sqrt{7}\big)\frac{1}{\sqrt{51}}+\big(-\sqrt{7}\big)\left(-\frac{7}{\sqrt{51}}\right)+14\frac{1}{\sqrt{51}}.

Passo 6

Simplifique o numerador somando os termos (todos têm fator comum \frac{1}{\sqrt{51}}):
\text{Numerador}=(21-\sqrt{7})+7\sqrt{7}+14.
Juntando as constantes e os termos com \sqrt{7}:
21+14=35, \qquad -\sqrt{7}+7\sqrt{7}=6\sqrt{7}.
Portanto a soma é 35+6\sqrt{7}. Dividindo por \sqrt{51} obtemos
D_{u}f(1,1,0)=\frac{35+6\sqrt{7}}{\sqrt{51}}.

Resposta

\displaystyle \frac{35+6\sqrt{7}}{\sqrt{51}}

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