Questão 4 Seja
\vec{F}(x, y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}
e
\gamma(t)=(\cos t, \sin t), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi .
O produto escalar
\vec{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma^{\prime}(t)
é igual a:
□ 0
-1
\sin t
\cos t
□ 1

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y)=\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{i}+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{j}.
  • A curva \gamma(t)=(\cos t,\sin t), com 0\le t\le 2\pi.
    A pergunta é: qual é o valor do produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)?

Passo 2

Calcular a derivada da curva \gamma(t). Derivar coordenada a coordenada:
\gamma'(t)=\bigl(\frac{d}{dt}\cos t,\;\frac{d}{dt}\sin t\bigr)=(-\sin t,\;\cos t).
Aqui usei que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.

Passo 3

Avaliar \vec{F} ao longo da curva, ou seja substituir x=\cos t e y=\sin t.
Primeiro note que x^{2}+y^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1 (identidade trigonométrica fundamental).
Portanto
\vec{F}(\gamma(t))=\left(\dfrac{-\sin t}{1},\;\dfrac{\cos t}{1}\right)=(-\sin t,\;\cos t).

Passo 4

Lembrar a definição do produto escalar entre dois vetores em \mathbb{R}^{2}:
(a_{1},a_{2})\cdot(b_{1},b_{2})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}.
Aqui vamos aplicar essa fórmula com \vec{F}(\gamma(t))=(-\sin t,\cos t) e \gamma'(t)=(-\sin t,\cos t).

Passo 5

Calcular o produto escalar ponto a ponto:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t.
Usando novamente a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, obtemos que o produto escalar é constante e igual a 1 para todo t.

Resposta

1

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