Suponha que
e
. Determine
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que se pede:
- Determinar
.
Passo 2
Regra que vamos usar (enunciada de forma simples): se
e
existem e são números finitos, então
Aqui podemos identificar
e
. Antes de aplicar direto, vou explicar por que essa regra é verdadeira de modo acessível.
Passo 3
Esboço de justificativa intuitiva (com ideia de controle por
):
- Queremos mostrar que
fica próximo de quando fica próximo de ; isto é, dado devemos garantir para perto de . - Reescrevemos a diferença de forma útil:
- Então
- Como
, para suficientemente perto de temos próximo de e, em particular, limitado por algum número fixo (por exemplo, pode-se garantir ). No nosso caso , então podemos assegurar para perto de . - Assim, para
próximos de ,
- Como
e , podemos tornar separadamente e tão pequenos quanto quisermos escolhendo suficientemente próximo de . Portanto o lado direito pode ser feito menor que qualquer , provando que . - Essa é a ideia formal por trás da regra usada no Passo 2.
Passo 4
Aplicando a regra com
e
, obtemos
Passo 5
Calcule o produto: