Suponha que \lim _{x \rightarrow 3} f(x)=7 e \lim _{x \rightarrow 3} g(x)=-3. Determine
\lim _{x \rightarrow 3}(f(x) g(x))

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x) = 7.
  • \displaystyle \lim_{x\to 3} g(x) = -3.
O que se pede:
  • Determinar \displaystyle \lim_{x\to 3} \bigl(f(x)\,g(x)\bigr).

Passo 2

Regra que vamos usar (enunciada de forma simples): se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M existem e são números finitos, então
\lim_{x\to a} \bigl(f(x)g(x)\bigr)=L\cdot M.
Aqui podemos identificar L=7 e M=-3. Antes de aplicar direto, vou explicar por que essa regra é verdadeira de modo acessível.

Passo 3

Esboço de justificativa intuitiva (com ideia de controle por \varepsilon):
  • Queremos mostrar que f(x)g(x) fica próximo de LM quando x fica próximo de 3; isto é, dado \varepsilon>0 devemos garantir |f(x)g(x)-LM|<\varepsilon para x perto de 3.
  • Reescrevemos a diferença de forma útil:
f(x)g(x)-LM = \bigl(f(x)-L\bigr)g(x) + L\bigl(g(x)-M\bigr).
  • Então
|f(x)g(x)-LM| \le |g(x)|\,|f(x)-L| + |L|\,|g(x)-M|.
  • Como \lim_{x\to 3} g(x)=M, para x suficientemente perto de 3 temos g(x) próximo de M e, em particular, limitado por algum número fixo (por exemplo, pode-se garantir |g(x)|<|M|+1). No nosso caso M=-3, então podemos assegurar |g(x)|<4 para x perto de 3.
  • Assim, para x próximos de 3,
|f(x)g(x)-LM| \le 4\,|f(x)-L| + |L|\,|g(x)-M|.
  • Como \lim_{x\to 3} f(x)=L e \lim_{x\to 3} g(x)=M, podemos tornar separadamente |f(x)-L| e |g(x)-M| tão pequenos quanto quisermos escolhendo x suficientemente próximo de 3. Portanto o lado direito pode ser feito menor que qualquer \varepsilon>0, provando que \lim_{x\to 3} f(x)g(x)=LM.
  • Essa é a ideia formal por trás da regra usada no Passo 2.

Passo 4

Aplicando a regra com L=7 e M=-3, obtemos
\lim_{x\to 3} \bigl(f(x)g(x)\bigr) = 7\cdot(-3).

Passo 5

Calcule o produto:
7\cdot(-3) = -21.

Resposta

-21

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