Suponha que \lim _{x \rightarrow 3} f(x)=7 e \lim _{x \rightarrow 3} g(x)=-3. Determine
\lim _{x \rightarrow 3} 3 g(x)

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
  • \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=7.
  • \displaystyle \lim_{x\to 3} g(x)=-3.
O que o problema pede:
  • Determinar \displaystyle \lim_{x\to 3} 3\,g(x).

Passo 2

Regra que vamos usar (enunciado e interpretação): se \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=L e c é uma constante real, então vale
\displaystyle \lim_{x\to a} c\,g(x)=c\cdot L.
Explicando as letras: a é o ponto para o qual x tende (aqui a=3), g(x) é a função que tem limite L quando x\to a, e c é um número fixo que multiplica a função. A conclusão é que multiplicar a função por uma constante é o mesmo que multiplicar o limite por essa constante.

Passo 3

Intuição simples e útil na prova: quando x fica perto de 3, g(x) fica próximo de -3. Se eu multiplicar valores próximos de -3 por 3, obtenho valores próximos de 3\cdot(-3). Ou seja, o comportamento limite deve obedecer à multiplicação por constantes.

Passo 4

Esboço do argumento formal (tipo prova epsilon–delta, só para entender por que a regra é válida):
  • Seja \varepsilon>0. Como \displaystyle \lim_{x\to 3} g(x)=-3, existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<|x-3|<\delta, tem-se
|g(x)+3|<\frac{\varepsilon}{3}.
  • Então, para esses x,
|3g(x)+9|=3\,|g(x)+3|<3\cdot\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
  • Isso mostra que \displaystyle \lim_{x\to 3} 3g(x)=3\cdot\displaystyle \lim_{x\to 3} g(x).

Passo 5

Usando o valor dado de \displaystyle \lim_{x\to 3} g(x)=-3 na igualdade do passo anterior, conclui-se o limite pedido.

Resposta

-9

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