Suponha que
e
. Determine
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
-
. -
.
O que o problema pede:
- Determinar
.
Passo 2
Regra que vamos usar (enunciado e interpretação): se
e
é uma constante real, então vale
Explicando as letras:
é o ponto para o qual
tende (aqui
),
é a função que tem limite
quando
, e
é um número fixo que multiplica a função. A conclusão é que multiplicar a função por uma constante é o mesmo que multiplicar o limite por essa constante.
Passo 3
Intuição simples e útil na prova: quando
fica perto de
,
fica próximo de
. Se eu multiplicar valores próximos de
por
, obtenho valores próximos de
. Ou seja, o comportamento limite deve obedecer à multiplicação por constantes.
Passo 4
Esboço do argumento formal (tipo prova epsilon–delta, só para entender por que a regra é válida):
- Seja
. Como , existe tal que, para todo com , tem-se
- Então, para esses
,
- Isso mostra que
.
Passo 5
Usando o valor dado de
na igualdade do passo anterior, conclui-se o limite pedido.