Questão 3. Calcule:
lim x 0(e^x+x)^1 / x.

Passo 1

Estamos calculando o limite
limxto0l(e^x+xr)^1/x
Esse é um caso de indeterminação do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar o logaritmo e transformar em limite de quociente, aplicando depois a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = limxto0l(e^x+xr)^1/x
Tomando logaritmo natural, obtemos
ln L = limxto0ln!l(e^x+xr)x

Passo 3

No limite acima, ao substituir x=0 temos forma 0/0, então aplicamos a regra de l’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
ddxln!l(e^x+xr) =e^x+1e^x+x, ddxx=1
Logo,
ln L = limxto0e^x+1e^x+x1 = limxto0e^x+1e^x+x

Passo 4

Basta agora substituir x=0 no quociente:
limxto0e^x+1e^x+x =e^0+1e^0+0 =1+11 =2
Portanto ln L = 2, o que implica L = e^2.

Resposta

e^2

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