4ª Questão: . Ache o valor de , de modo que a função tenha, pelo menos um
i) ponto de máximo local;
ii) ponto de mínimo local;
iii) ponto de sela.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede os valores de para que haja, em pelo menos um ponto crítico, um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela. O conteúdo aqui é a classificação de pontos críticos de funções de duas variáveis usando o Hessiano.
Passo 2
Encontramos os pontos críticos resolvendo
Dessa forma, o único ponto crítico é .
Passo 3
Calculamos o Hessiano de :
Como é matriz diagonal, seus autovalores são
lambda1=2(a-1), lambda2=-2 ]
Passo 4
Para haver ponto de máximo local o Hessiano deve ser definido negativo, isto é,
lambda1<0 e lambda2<0
Como lambda2=-2<0 sempre, precisamos de lambda1<0, ou seja
2(a-1)<0 Longrightarrow a<1
Passo 5
Para haver ponto de mínimo local o Hessiano deve ser definido positivo, ou seja, lambda1>0 e lambda2>0. Mas lambda2=-2<0 nunca é positivo, logo não existe valor de a que torne H(f) definido positivo.
Passo 6
Para ponto de sela o Hessiano deve ser indefinido (autovalores de sinais opostos). Como lambda2=-2<0 sempre, basta ter lambda1>0, isto é
2(a-1)>0 Longrightarrow a>1
Resposta
i) Para máximo local: a<1
ii) Para mínimo local: não existe valor de a
iii) Para ponto de sela: a>1