4ª Questão: (2,5). Ache o valor de a, de modo que a função f(x, y)=(a-1) x^2-y^2 tenha, pelo menos um
i) ponto de máximo local;
ii) ponto de mínimo local;
iii) ponto de sela.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x,y)=(a-1),x^2 - y^2
e pede os valores de a para que haja, em pelo menos um ponto crítico, um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela. O conteúdo aqui é a classificação de pontos críticos de funções de duas variáveis usando o Hessiano.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos resolvendo
partial fpartial x=2(a-1)x=0, partial fpartial y=-2y=0
Dessa forma, o único ponto crítico é (x,y)=(0,0).

Passo 3

Calculamos o Hessiano de f:
H(f)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y[6pt] partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = 2(a-1) & 0[4pt] 0 & -2
Como é matriz diagonal, seus autovalores são
lambda1=2(a-1), lambda2=-2 ]

Passo 4

Para haver ponto de máximo local o Hessiano deve ser definido negativo, isto é,
lambda1<0 e lambda2<0
Como lambda2=-2<0 sempre, precisamos de lambda1<0, ou seja
2(a-1)<0 Longrightarrow a<1

Passo 5

Para haver ponto de mínimo local o Hessiano deve ser definido positivo, ou seja, lambda1>0 e lambda2>0. Mas lambda2=-2<0 nunca é positivo, logo não existe valor de a que torne H(f) definido positivo.

Passo 6

Para ponto de sela o Hessiano deve ser indefinido (autovalores de sinais opostos). Como lambda2=-2<0 sempre, basta ter lambda1>0, isto é
2(a-1)>0 Longrightarrow a>1

Resposta

i) Para máximo local: a<1
ii) Para mínimo local: não existe valor de a
iii) Para ponto de sela: a>1

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