3a Questão: (2,5). Seja M=(x, y z) in R^3 ; z=x^2+y^2 e x+z=2.
Determine o ponto (x, y, z) in M que possui a maior coordenada x.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
M=(x,y,z)inR^3;;z=x^2+y^2 e x+z=2
e pede o ponto de M que maximiza a coordenada x.
Conteúdo: otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) ou geometria de interseção de superfícies.

Passo 2

Eliminamos z usando a equação do plano x+z=2, isto é ,z=2-x. Substituindo em
z = x^2 + y^2
vem
2 - x = x^2 + y^2
logo a curva de interseção no plano xy satisfaz
x^2 + y^2 + x - 2 = 0

Passo 3

Queremos maximizar
;f(x,y)=x; sujeito à restrição
;g(x,y)=x^2+y^2+x-2=0.
Pela condição de Lagrange,
nabla f = lambda,nabla g
ou seja
(1,0) = lambda,(2x+1,,2y)
Como lambdaneq0, da segunda componente vem 2ylambda=0implies y=0.
Da primeira componente 1=lambda(2x+1).

Passo 4

Com y=0 a restrição vira
x^2 + x - 2 = 0 Longrightarrow (x-1)(x+2)=0
portanto x=1 ou x=-2.
Para cada solução, z=2-x dá os pontos
(1,0,1) e (-2,0,4)

Passo 5

Comparando as abscissas, o maior valor de x é 1, que ocorre no ponto
(1,0,1).

Resposta

(1,0,1)

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