Questão 4: Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3+\bar{x}}-\sqrt{3--x}}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar
f(x)=\frac{\sqrt{3+\lvert x\rvert}-\sqrt{3-\lvert x\rvert}}{x}
quando x\to0. Como aparece \lvert x\rvert, vamos calcular separadamente o limite pela direita x\to0^+ e pela esquerda x\to0^-.

Passo 2

Para x>0 temos \lvert x\rvert=x, então
f(x)=\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}.
Racionalizando o numerador:
\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x} \;\cdot\; \frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}} =\frac{(3+x)-(3-x)}{x\bigl(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}\bigr)} =\frac{2x}{x\bigl(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}\bigr)} =\frac{2}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}.
Fazendo x\to0^+:
\lim_{x\to0^+}f(x) =\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} =\frac{2}{2\sqrt{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Para x<0 temos \lvert x\rvert=-x, então
f(x)=\frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}{x} =-\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}.
Usando o mesmo racionalização do passo anterior,
\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x} \;\longrightarrow\; \frac{2}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}},
logo
f(x) =-\frac{2}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}
e ao x\to0^-:
\lim_{x\to0^-}f(x) =-\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} =-\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes,
\lim_{x\to0^+}f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}f(x)=-\frac{1}{\sqrt{3}},
o limite \displaystyle\lim_{x\to0}f(x) não existe.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to0^+} \frac{\sqrt{3+\lvert x\rvert}-\sqrt{3-\lvert x\rvert}}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}} \displaystyle\lim_{x\to0^-} \frac{\sqrt{3+\lvert x\rvert}-\sqrt{3-\lvert x\rvert}}{x}=-\frac{1}{\sqrt{3}}
Logo, o limite em 0 não existe.

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