f(x)=3 \sqrt[3]{x^{2}}-\frac{2}{x^{3 / 2}}+4 \frac{x^{3}}{\sqrt{x}} \rightarrow Calcular f^{\prime}(1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=3\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{2}{x^{3/2}}+4\frac{x^{3}}{\sqrt{x}}
e pede f'(1). Vamos usar a regra do expoente (power rule), que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos tudo com potências:
f(x)=3x^{2/3}-2x^{-3/2}+4x^{3}\,x^{-1/2} \quad\Longrightarrow\quad f(x)=3x^{2/3}-2x^{-3/2}+4x^{5/2}.

Passo 3

Aplicando a regra do expoente a cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2/3}\bigr)=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{-1/3}=2x^{-1/3},
\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{-3/2}\bigr)=-2\cdot\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)\,x^{-5/2}=3x^{-5/2},
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{5/2}\bigr)=4\cdot\frac{5}{2}\,x^{3/2}=10x^{3/2}.
Logo,
f'(x)=2x^{-1/3}+3x^{-5/2}+10x^{3/2}.

Passo 4

Agora, avaliamos em x=1:
f'(1)=2\cdot1^{-1/3}+3\cdot1^{-5/2}+10\cdot1^{3/2} =2+3+10=15.

Resposta

15

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