f(x)=\frac{x^{3}-1}{2 x^{2}+2 x+1} \rightarrow Calcular f^{\prime}(1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x^{3}-1}{2x^{2}+2x+1}
no ponto x=1. Para isso vamos usar a regra do quociente, que é o conteúdo principal aqui.

Passo 2

Definimos as funções
N(x)=x^{3}-1
D(x)=2x^{2}+2x+1
e calculamos suas derivadas:
N'(x)=3x^{2}, \quad D'(x)=4x+2.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, temos
f'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{\bigl(D(x)\bigr)^{2}} =\frac{3x^{2}(2x^{2}+2x+1)-(x^{3}-1)(4x+2)}{(2x^{2}+2x+1)^{2}}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=1:
N(1)=1^{3}-1=0, \quad D(1)=2+2+1=5, \quad N'(1)=3\cdot1^{2}=3, \quad D'(1)=4\cdot1+2=6.
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f'(1) =\frac{3\cdot5 - 0\cdot6}{5^{2}} =\frac{15}{25} =\frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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