Questão 2.
Calcule:
3^{\log _{5} 10 \cdot \log _{3} 5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
3^{\log_{5}10 \,\cdot\, \log_{3}5}
O conteúdo envolvido são propriedades de logaritmo e, em especial, a mudança de base para transformar esse produto de logaritmos numa forma mais simples.

Passo 2

Vamos reescrever cada logaritmo em função de logaritmo natural ( \ln) e depois simplificar o produto:
\log_{5}10 = \frac{\ln 10}{\ln 5}, \qquad \log_{3}5 = \frac{\ln 5}{\ln 3}.
Multiplicando:
\log_{5}10 \,\cdot\, \log_{3}5 = \frac{\ln 10}{\ln 5}\,\cdot\,\frac{\ln 5}{\ln 3} = \frac{\ln 10}{\ln 3} = \log_{3}10.

Passo 3

Substituindo de volta na potência, fica
3^{\log_{5}10 \,\cdot\, \log_{3}5} = 3^{\log_{3}10}.
Pela definição de logaritmo, a^{\log_{a}x}=x. Logo,
3^{\log_{3}10} = 10.

Resposta

10

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