Questão 5. Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde
\vec{F}(x, y)=\frac{2 x y \vec{i}+\left(y^{2}-x^{2}\right) \vec{j}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
e C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que circunde a origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}
onde
\vec{F}(x,y)=\frac{2xy\,\vec{i}+\bigl(y^2 - x^2\bigr)\,\vec{j}}{(x^2+y^2)^2},
e C é qualquer curva fechada simples, positivamente orientada, que envolve a origem. Vamos usar uma curva circular de raio arbitrário R>0 centrada na origem para efetuar o cálculo explicitamente em coordenadas polares, mostrando que o resultado independe de R.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio R por
x=R\cos t,\quad y=R\sin t,
com t variando de 0 a 2\pi. Então
dx=-R\sin t\,dt,\quad dy=R\cos t\,dt,
e
x^2+y^2=R^2.

Passo 3

Em função de t, os componentes de \vec F são
P(x,y)=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2R^2\sin t\cos t}{R^4} =\frac{\sin2t}{R^2},
Q(x,y)=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{R^2(\sin^2t-\cos^2t)}{R^4} =-\frac{\cos2t}{R^2}.
Logo,
\vec F\cdot d\vec r =P\,dx+Q\,dy =-\frac{\sin2t\sin t}{R}\,dt\;-\;\frac{\cos2t\cos t}{R}\,dt =-\frac{\sin2t\sin t+\cos2t\cos t}{R}\,dt.

Passo 4

Note que
\sin2t\sin t+\cos2t\cos t =\cos(2t-t) =\cos t.
Portanto
\vec F\cdot d\vec r =-\frac{\cos t}{R}\,dt,
e a integral em t\in[0,2\pi] é
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =-\frac{1}{R}\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt =-\frac{1}{R}\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi} =0.

Passo 5

Como a integral sobre a circunferência vale 0 para qualquer raio R, e C pode ser deformada continuamente a essa circunferência sem cruzar o ponto singular na origem, a integral sobre qualquer curva fechada simples que envolva a origem também vale 0.

Resposta

\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.

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