Questão 5. Calcule
, onde
e
é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que circunde a origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é qualquer curva fechada simples, positivamente orientada, que envolve a origem. Vamos usar uma curva circular de raio arbitrário
centrada na origem para efetuar o cálculo explicitamente em coordenadas polares, mostrando que o resultado independe de
.
Passo 2
Parametrizamos a circunferência de raio
por
com
variando de
a
. Então
e
Passo 3
Em função de
, os componentes de
são
Logo,
Passo 4
Note que
Portanto
e a integral em
é
Passo 5
Como a integral sobre a circunferência vale
para qualquer raio
, e
pode ser deformada continuamente a essa circunferência sem cruzar o ponto singular na origem, a integral sobre qualquer curva fechada simples que envolva a origem também vale
.