Questão 8. Encontre uma curva fechada simples
, com orientação anti-horária, que maximize o valor da integral
e explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado pede a curva fechada simples
, orientada anti-horário, que maximize
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha num integral dupla sobre a região
limitada por
.
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green:
Calculamos as derivadas parciais:
logo o integrando é
Passo 3
Para maximizar
devemos escolher
de modo a incluir todos os pontos onde
(contribuição positiva) e excluir onde
(contribuição negativa). O conjunto de pontos em que
é o disco de raio
:
Passo 4
A fronteira desse disco é a circunferência de raio
, dada por
orientada no sentido anti-horário. Essa escolha torna a integral máxima, pois inclui toda área de integrando positivo e evita a parte negativa.
Resposta
A curva
que maximiza a integral é o círculo unitário
percorrido no sentido anti-horário.