Questão 8. Encontre uma curva fechada simples C, com orientação anti-horária, que maximize o valor da integral
\oint_{C} \frac{1}{3} y^{3} d x+\left(x-\frac{1}{3} x^{3}\right) d y
e explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado pede a curva fechada simples C, orientada anti-horário, que maximize
\oint_{C} \frac{1}{3}y^{3}\,dx + \Bigl(x - \frac{1}{3}x^{3}\Bigr)\,dy.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha num integral dupla sobre a região D limitada por C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=\tfrac{1}{3}y^{3}, \quad Q(x,y)=x-\tfrac{1}{3}x^{3}.
Pelo Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =1 - x^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =y^{2},
logo o integrando é
1 - x^{2} - y^{2}.

Passo 3

Para maximizar
\iint_{D}\bigl(1 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dA,
devemos escolher D de modo a incluir todos os pontos onde 1 - x^2 - y^2>0 (contribuição positiva) e excluir onde 1 - x^2 - y^2<0 (contribuição negativa). O conjunto de pontos em que
1 - x^{2} - y^{2}\ge0
é o disco de raio 1:
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 4

A fronteira desse disco é a circunferência de raio 1, dada por
x^{2}+y^{2}=1,
orientada no sentido anti-horário. Essa escolha torna a integral máxima, pois inclui toda área de integrando positivo e evita a parte negativa.

Resposta

A curva C que maximiza a integral é o círculo unitário
x^{2}+y^{2}=1,
percorrido no sentido anti-horário.

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