Um tubo em U atua como um sifão d’água. A curvatura do tubo está 1 m acima da superfície da água; a saída do tubo está 7 m abaixo da superfície da água. A água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine a velocidade do jato livre e a pressão mínima da água na curvatura.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A curvatura (ponto alto) do tubo está 1\\ \text{m} acima da superfície livre do reservatório.
  • A saída do tubo (extremidade inferior do sifão) está 7\\ \text{m} abaixo da superfície livre.
  • A água sai para a atmosfera na saída do tubo.
O que é pedido:
  • Determinar a velocidade do jato livre na saída do sifão.
  • Determinar a pressão mínima da água na curvatura (ponto alto), em termos absolutos.
Informações numéricas que usarei (valores padrão):
  • Aceleração da gravidade: g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Densidade da água: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pressão atmosférica aproximada: P_{\text{atm}} = 101325\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Discussão das hipóteses e do método (explicação didática).
  • Vou usar a equação de Bernoulli em forma simplificada entre superfícies de fluido incompressível, fluxo estacionário e desprezando perdas por atrito. A equação de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2 vale:
P_{1} + \tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho g z_{1} = P_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho g z_{2}.
Aqui:
  • P é a pressão absoluta no ponto considerado;
  • \rho é a densidade do fluido;
  • v é a velocidade do fluido no ponto;
  • z é a cota vertical (altura) do ponto medida a partir de uma referência;
  • g é a aceleração da gravidade.
  • Justificativas das simplificações:
    • No reservatório a superfície livre está praticamente em repouso, então v_{\text{superfície}}\approx 0í.
    • Se o tubo tem seção constante (ou se consideramos que a velocidade no interior do tubo é igual à velocidade do jato na saída), a velocidade ao longo do trecho do tubo é v (a mesma que a do jato).
    • A saída é para a atmosfera, então P_{\text{saída}} = P_{\text{atm}}í.
  • Com essas hipóteses, podemos aplicar Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (ponto A, cota z_A=0) e a saída do jato (ponto C, cota z_C=-7\\ \text{m}) para obter a velocidade. Em seguida, aplicar Bernoulli entre a superfície livre (ponto A) e a curvatura (ponto B, cota z_B=+1\\ \text{m}) para obter a pressão mínima.

Passo 3

Cálculo da velocidade do jato (usar Bernoulli entre superfície livre e saída).
  • Entre A (superfície, P_A=P_{\text{atm}}, v_A\approx0, z_A=0) e C (saída, P_C=P_{\text{atm}}, v_C=v, z_C=-7\\ \text{m}):
P_{A} + \tfrac{1}{2}\rho v_{A}^{2} + \rho g z_{A} = P_{C} + \tfrac{1}{2}\rho v_{C}^{2} + \rho g z_{C}.
  • Como P_{A}=P_{C}=P_{\text{atm}} e v_{A}\approx 0, simplifica para:
0 = \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g (z_{C}-z_{A}).
Rearranjando:
\tfrac{1}{2}\rho v^{2} = \rho g (z_{A}-z_{C}).
  • Como z_{A}-z_{C} = 0 - (-7) = 7\\ \text{m}, obtemos a fórmula clássica:
v = \sqrt{2 g \Delta z}
com \Delta z = 7\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo números:
v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 7} = \sqrt{137,34} \approx 11,72\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Fórmula para a pressão na curvatura (usar Bernoulli entre superfície livre e ponto alto).
  • Aplicando Bernoulli entre A (superfície) e B (curvatura, cota z_B=+1\\ \text{m}, velocidade v):
P_{A} + \tfrac{1}{2}\rho v_{A}^{2} + \rho g z_{A} = P_{B} + \tfrac{1}{2}\rho v_{B}^{2} + \rho g z_{B}.
  • Usando P_{A}=P_{\text{atm}}, v_{A}\approx 0, v_{B}=v, z_{A}=0, z_{B}=1\\ \text{m}, obtemos:
P_{B} = P_{\text{atm}} + \rho g (z_{A}-z_{B}) + \tfrac{1}{2}\rho (v_{A}^{2}-v^{2}).
  • Simplificando (com v_{A}=0):
P_{B} = P_{\text{atm}} - \rho g z_{B} - \tfrac{1}{2}\rho v^{2}.
  • Esta fórmula diz que a pressão no ponto alto é a pressão atmosférica menos dois termos: o peso da coluna de fluido devido à elevação z_{B} e a queda de pressão dinâmica associada à velocidade v.

Passo 5

Cálculo numérico da pressão mínima na curvatura.
  • Já calculamos v^{2} \approx 137,34\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
  • Substituindo na expressão:
P_{B} = 101325 - 1000\cdot 9,81\cdot 1 - \tfrac{1}{2}\cdot 1000 \cdot 137,34.
  • Calculando os termos:
    • \rho g z_{B} = 1000 \cdot 9,81 \cdot 1 = 9810\\ \mathrm{Pa}.
    • \tfrac{1}{2}\rho v^{2} = 0,5 \cdot 1000 \cdot 137,34 = 68\,670\\ \mathrm{Pa}.
    • Soma das reduções: 9810 + 68670 = 78\,480\\ \mathrm{Pa}.
  • Portanto:
P_{B} = 101325 - 78\,480 = 22\,845\\ \mathrm{Pa} \approx 2,28\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em pressão relativa (gauge) isto corresponde a:
P_{B,\text{gauge}} = P_{B}-P_{\text{atm}} \approx -78\,480\\ \mathrm{Pa} \approx -78,48\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Interpretação e observações finais (motivação para a prova).
  • Resultado físico: a pressão no ponto mais alto diminui bastante em relação à atmosférica, mas neste exemplo numérico continua positiva e bem acima da pressão de vapor da água (logo não há cavitação aqui).
  • Principais hipóteses que podem invalidar o resultado em casos reais: perdas por atrito no tubo (que reduziriam a velocidade real), variação de área (que mudaria as velocidades locais) ou fluxo não estacionário. Em provas típicas, ignoram perdas e supõem seção constante, como fiz aqui.

Resposta

v \approx 11,72\\ \mathrm{m/s}
P_{\text{mín}} \approx 2,28\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}í (absoluta)

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