Um tubo em U atua como um sifão d’água. A curvatura do tubo está 1 m acima da superfície da água; a saída do tubo está 7 m abaixo da superfície da água. A água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine a velocidade do jato livre e a pressão mínima da água na curvatura.
Passo 1
O enunciado fornece:
- A curvatura (ponto alto) do tubo está
acima da superfície livre do reservatório. - A saída do tubo (extremidade inferior do sifão) está
abaixo da superfície livre. - A água sai para a atmosfera na saída do tubo.
O que é pedido:
- Determinar a velocidade do jato livre na saída do sifão.
- Determinar a pressão mínima da água na curvatura (ponto alto), em termos absolutos.
Informações numéricas que usarei (valores padrão):
- Aceleração da gravidade:
. - Densidade da água:
. - Pressão atmosférica aproximada:
.
Passo 2
Discussão das hipóteses e do método (explicação didática).
- Vou usar a equação de Bernoulli em forma simplificada entre superfícies de fluido incompressível, fluxo estacionário e desprezando perdas por atrito. A equação de Bernoulli entre dois pontos
e vale:
Aqui:
-
é a pressão absoluta no ponto considerado; -
é a densidade do fluido; -
é a velocidade do fluido no ponto; -
é a cota vertical (altura) do ponto medida a partir de uma referência; -
é a aceleração da gravidade. - Justificativas das simplificações:
- No reservatório a superfície livre está praticamente em repouso, então
. - Se o tubo tem seção constante (ou se consideramos que a velocidade no interior do tubo é igual à velocidade do jato na saída), a velocidade ao longo do trecho do tubo é
(a mesma que a do jato). - A saída é para a atmosfera, então
.
- No reservatório a superfície livre está praticamente em repouso, então
- Com essas hipóteses, podemos aplicar Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (ponto
, cota ) e a saída do jato (ponto , cota ) para obter a velocidade. Em seguida, aplicar Bernoulli entre a superfície livre (ponto ) e a curvatura (ponto , cota ) para obter a pressão mínima.
Passo 3
Cálculo da velocidade do jato (usar Bernoulli entre superfície livre e saída).
- Entre
(superfície, ) e (saída, ):
- Como
e , simplifica para:
Rearranjando:
- Como
, obtemos a fórmula clássica:
com
.
- Substituindo números:
Passo 4
Fórmula para a pressão na curvatura (usar Bernoulli entre superfície livre e ponto alto).
- Aplicando Bernoulli entre
(superfície) e (curvatura, cota , velocidade ):
- Usando
, , , , , obtemos:
- Simplificando (com
):
- Esta fórmula diz que a pressão no ponto alto é a pressão atmosférica menos dois termos: o peso da coluna de fluido devido à elevação
e a queda de pressão dinâmica associada à velocidade .
Passo 5
Cálculo numérico da pressão mínima na curvatura.
- Já calculamos
. - Substituindo na expressão:
- Calculando os termos:
-
. -
. - Soma das reduções:
.
-
- Portanto:
- Em pressão relativa (gauge) isto corresponde a:
Passo 6
Interpretação e observações finais (motivação para a prova).
- Resultado físico: a pressão no ponto mais alto diminui bastante em relação à atmosférica, mas neste exemplo numérico continua positiva e bem acima da pressão de vapor da água (logo não há cavitação aqui).
- Principais hipóteses que podem invalidar o resultado em casos reais: perdas por atrito no tubo (que reduziriam a velocidade real), variação de área (que mudaria as velocidades locais) ou fluxo não estacionário. Em provas típicas, ignoram perdas e supõem seção constante, como fiz aqui.