Questão 3: Calcule, se possível, os seguintes limites:
(9 pontos)
(9 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e o que é importante notar:
- A variável
tende a (ou seja, é grande em módulo e negativa). - O numerador contém uma raiz quadrada de uma expressão em
: . - O denominador é uma expressão linear em
: .
O objetivo é calcular o valor numérico desse limite (se existir).
Passo 2
Vamos usar uma técnica padrão para limites envolvendo potências de
e raízes: fatorar o
dentro da raiz para separar o comportamento em módulo de
. Primeiro, lembretes importantes (aula rápida e suave):
- Para qualquer número real
vale . Isso é porque a raiz quadrada devolve sempre um número não negativo, e tem raiz não negativa igual a . Ex.: se , . - Quando
estamos eventualmente em valores de negativos, portanto para esses temos .
Agora, aplique a fatoração no numerador:
Passo 3
Usando a expressão do passo anterior, reescrevemos o quociente:
Agora recorde: como
estamos com
para
suficientemente grande em módulo, então para esses
vale
. Portanto, para o propósito do limite podemos substituir
por
(isso é legítimo porque queremos o comportamento quando
é muito negativo). Assim, para
,
Passo 4
Para simplificar a expressão e deixar claro o comportamento quando
é grande, dividimos numerador e denominador por
(que é positivo quando
). Dividindo por
obtemos:
Aqui fizemos as operações passo a passo:
- Numerador:
dividido por dá . - Denominador:
.
Passo 5
Agora analisamos o limite na forma simplificada. Use a continuidade das funções elementares (raiz, soma, divisão) para passar ao limite termo a termo:
- Quando
temos . Portanto
(Explicação: a raiz quadrada é contínua, então pode-se substituir o argumento pelo seu limite.)
- Também,
quando .
Assim o denominadortende a .
Passo 6
Reunindo os limites do numerador e do denominador:
Comentário intuitivo extra (para decorar a técnica): para grandes
o numerador comporta-se como
e o denominador como
; como
é negativo temos
, então a razão se aproxima de
— mesma resposta.
Passo 7
Resultado final: o limite existe e vale
. Força aí nos estudos — essa técnica de fatorar a maior potência e usar
aparece sempre em limites com raízes; treina um pouco e fica automático!