Questão 3: Calcule, se possível, os seguintes limites:
(9 pontos) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{9 x^{2}+1}}{3-2 x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^{2}+1}}{3-2x}.
Informações dadas e o que é importante notar:
  • A variável x tende a -\infty (ou seja, x é grande em módulo e negativa).
  • O numerador contém uma raiz quadrada de uma expressão em x^{2}: \sqrt{9x^{2}+1}.
  • O denominador é uma expressão linear em x: 3-2x.
    O objetivo é calcular o valor numérico desse limite (se existir).

Passo 2

Vamos usar uma técnica padrão para limites envolvendo potências de x e raízes: fatorar o x^{2} dentro da raiz para separar o comportamento em módulo de x. Primeiro, lembretes importantes (aula rápida e suave):
  • Para qualquer número real x vale \sqrt{x^{2}}=|x|. Isso é porque a raiz quadrada devolve sempre um número não negativo, e x^{2} tem raiz não negativa igual a |x|. Ex.: se x=-5, \sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|.
  • Quando x\to -\infty estamos eventualmente em valores de x negativos, portanto para esses x temos |x|=-x.
    Agora, aplique a fatoração no numerador:
\sqrt{9x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}\!\left(9+\frac{1}{x^{2}}\right)}=|x|\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}.

Passo 3

Usando a expressão do passo anterior, reescrevemos o quociente:
\frac{\sqrt{9x^{2}+1}}{3-2x}=\frac{|x|\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}}{3-2x}.
Agora recorde: como x\to-\infty estamos com x<0 para x suficientemente grande em módulo, então para esses x vale |x|=-x. Portanto, para o propósito do limite podemos substituir |x| por -x (isso é legítimo porque queremos o comportamento quando x é muito negativo). Assim, para x<0,
\frac{\sqrt{9x^{2}+1}}{3-2x}=\frac{(-x)\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}}{3-2x}.

Passo 4

Para simplificar a expressão e deixar claro o comportamento quando |x| é grande, dividimos numerador e denominador por -x (que é positivo quando x<0). Dividindo por -x obtemos:
\frac{(-x)\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}}{3-2x} = \frac{\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}}{\dfrac{3}{-x}-\dfrac{2x}{-x}} = \frac{\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}}{-\dfrac{3}{x}+2}.
Aqui fizemos as operações passo a passo:
  • Numerador: (-x)\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}} dividido por -x \sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}.
  • Denominador: \dfrac{3-2x}{-x}=\dfrac{3}{-x}-\dfrac{2x}{-x}=-\dfrac{3}{x}+2.

Passo 5

Agora analisamos o limite na forma simplificada. Use a continuidade das funções elementares (raiz, soma, divisão) para passar ao limite termo a termo:
  • Quando x\to-\infty temos \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Portanto
\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}\longrightarrow \sqrt{9+0}=\sqrt{9}=3.
(Explicação: a raiz quadrada é contínua, então pode-se substituir o argumento pelo seu limite.)
  • Também, -\dfrac{3}{x}\to 0 quando x\to-\infty.
    Assim o denominador -\dfrac{3}{x}+2 tende a 0+2=2.

Passo 6

Reunindo os limites do numerador e do denominador:
\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^{2}+1}}{3-2x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}}{-\dfrac{3}{x}+2} = \frac{3}{2}.
Comentário intuitivo extra (para decorar a técnica): para grandes |x| o numerador comporta-se como 3|x| e o denominador como -2x; como x é negativo temos |x|=-x, então a razão se aproxima de \dfrac{3(-x)}{-2x}=\dfrac{3}{2} — mesma resposta.

Passo 7

Resultado final: o limite existe e vale \dfrac{3}{2}. Força aí nos estudos — essa técnica de fatorar a maior potência e usar \sqrt{x^{2}}=|x| aparece sempre em limites com raízes; treina um pouco e fica automático!

Resposta

\dfrac{3}{2}

Exercícios relacionados