Questão 3: Calcule, se possível, os seguintes limites:
(9 pontos)
(9 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável vai para
: . - O numerador é
, que oscila quando varia, mas tem valores sempre entre e . - O denominador é
, que cresce sem limite quando (pois o expoente ).
Passo 2
Vamos recordar um resultado que vamos usar: o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche). Ele diz o seguinte.
Se existirem funções
e um número
tal que, para todo
,
e se
então
Explicando em palavras: se
fica “sanduichada” entre duas funções que convergem para o mesmo limite
, então
também converge para
. Aqui
e
são as funções que servem de limite inferior e superior.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: sabemos que, para todo
real,
Para
(e para
estamos só olhando
grandes e positivos), podemos dividir toda a desigualdade por o número positivo
e obter
Agora identificamos
e temos
para
.
Passo 4
Calculamos os limites das funções que servem de bordo:
- Claro que
- Para
, como o expoente é positivo, a potência quando ; portanto seu inverso tende a zero:
Uma forma prática de ver isso é: dado
, escolha
. Para todo
tem
, logo
. Isso mostra a convergência para
.
Passo 5
Como temos
para
grande e ambos os limites das bordas valem
, pelo Teorema do Confronto concluímos que
Intuição rápida: mesmo que
oscile entre
e
, o denominador cresce sem parar; a fração fica cada vez menor e vai a zero. Esse é um padrão comum em provas: uma função oscilante porém limitada dividida por algo que tende a infinito produz limite zero (ex.:
).