Questão 3: Calcule, se possível, os seguintes limites:
(9 pontos) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\cos ^{2} x}{x^{2 / 3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x\to\infty da função
\frac{\cos^{2} x}{x^{2/3}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável vai para +\infty: x\to\infty.
  • O numerador é \cos^{2} x, que oscila quando x varia, mas tem valores sempre entre 0 e 1.
  • O denominador é x^{2/3}, que cresce sem limite quando x\to\infty (pois o expoente 2/3>0).

Passo 2

Vamos recordar um resultado que vamos usar: o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche). Ele diz o seguinte.
Se existirem funções f,g,h e um número A tal que, para todo x>A,
f(x)\le g(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} h(x)=L,
então
\lim_{x\to\infty} g(x)=L.
Explicando em palavras: se g(x) fica “sanduichada” entre duas funções que convergem para o mesmo limite L, então g também converge para L. Aqui f e h são as funções que servem de limite inferior e superior.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: sabemos que, para todo x real,
0 \le \cos^{2} x \le 1.
Para x>0 (e para x\to\infty estamos só olhando x grandes e positivos), podemos dividir toda a desigualdade por o número positivo x^{2/3} e obter
0 \le \frac{\cos^{2} x}{x^{2/3}} \le \frac{1}{x^{2/3}}.
Agora identificamos
f(x)=0,\qquad g(x)=\frac{\cos^{2} x}{x^{2/3}},\qquad h(x)=\frac{1}{x^{2/3}},
e temos f(x)\le g(x)\le h(x) para x>0.

Passo 4

Calculamos os limites das funções que servem de bordo:
  • Claro que
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} 0 = 0.
  • Para h(x)=\dfrac{1}{x^{2/3}}, como o expoente 2/3 é positivo, a potência x^{2/3}\to\infty quando x\to\infty; portanto seu inverso tende a zero:
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{2/3}} = 0.
Uma forma prática de ver isso é: dado \varepsilon>0, escolha X=(1/\varepsilon)^{3/2}. Para todo x>X tem x^{2/3}>(1/\varepsilon), logo 1/x^{2/3}<\varepsilon. Isso mostra a convergência para 0.

Passo 5

Como temos 0=f(x)\le g(x)\le h(x) para x grande e ambos os limites das bordas valem 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{x\to\infty} \frac{\cos^{2} x}{x^{2/3}} = 0.
Intuição rápida: mesmo que \cos^{2} x oscile entre 0 e 1, o denominador cresce sem parar; a fração fica cada vez menor e vai a zero. Esse é um padrão comum em provas: uma função oscilante porém limitada dividida por algo que tende a infinito produz limite zero (ex.: \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0).

Resposta

0

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