Questão 4:
(10 pontos) Admitindo que
, mostre que
(10 pontos) Admitindo que
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou listar bem claro):
- Foi dado que
. - A tarefa é mostrar a desigualdade
Passo 2
A primeira coisa é transformar
em uma desigualdade simples para
. Como
e
, segue que
. A partir de
temos
Subtraindo
em todas as partes obtemos
Ou seja,
pertence ao intervalo aberto
.
Passo 3
Agora vamos obter limites para a expressão
. Usando as desigualdades obtidas para
:
- Como
, multipicando por (e invertendo o sentido) dá . Somando obtemos
- Como
, multiplicando por e somando dá
Portanto temos a dupla desigualdade
Passo 4
Tomamos raiz quadrada (todas as quantidades com as quais lidamos são positivas, então podemos tomar raízes preservando as desigualdades): de
segue
Agora observações numéricas simples:
porque
, e
porque
. Assim
Passo 5
Somando
às três parcelas da desigualdade obtida em
obtemos
Isto mostra que o denominador
está estritamente entre
e
, portanto é positivo (o que permite inverter a desigualdade sem problemas).
Passo 6
Finalmente, aplicamos a função recíproca
, que é estritamente decrescente para
. Invertendo a desigualdade
obtemos