Questão 4:
(10 pontos) Admitindo que 0<|x+2|<\delta \leq 1, mostre que
\frac{1}{7}<\frac{1}{3+\sqrt{5-2 x}}<\frac{1}{5}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar bem claro):
  • Foi dado que 0<|x+2|<\delta\leq 1.
  • A tarefa é mostrar a desigualdade
\frac{1}{7}<\frac{1}{3+\sqrt{5-2x}}<\frac{1}{5}.

Passo 2

A primeira coisa é transformar 0<|x+2|<\delta\leq 1 em uma desigualdade simples para x. Como \delta\leq 1 e |x+2|<\delta, segue que |x+2|<1. A partir de |x+2|<1 temos
-1<x+2<1.
Subtraindo 2 em todas as partes obtemos
-3<x< -1.
Ou seja, x pertence ao intervalo aberto (-3,-1).

Passo 3

Agora vamos obter limites para a expressão 5-2x. Usando as desigualdades obtidas para x:
  • Como x< -1, multipicando por -2 (e invertendo o sentido) dá -2x>2. Somando 5 obtemos
5-2x>7.
  • Como x>-3, multiplicando por -2 e somando 5
5-2x<11.
Portanto temos a dupla desigualdade
7<5-2x<11.

Passo 4

Tomamos raiz quadrada (todas as quantidades com as quais lidamos são positivas, então podemos tomar raízes preservando as desigualdades): de 7<5-2x<11 segue
\sqrt{7}<\sqrt{5-2x}<\sqrt{11}.
Agora observações numéricas simples: \sqrt{7}>2 porque 7>4, e \sqrt{11}<4 porque 11<16. Assim
2<\sqrt{5-2x}<4.

Passo 5

Somando 3 às três parcelas da desigualdade obtida em 2<\sqrt{5-2x}<4 obtemos
5<3+\sqrt{5-2x}<7.
Isto mostra que o denominador 3+\sqrt{5-2x} está estritamente entre 5 e 7, portanto é positivo (o que permite inverter a desigualdade sem problemas).

Passo 6

Finalmente, aplicamos a função recíproca t\mapsto 1/t, que é estritamente decrescente para t>0. Invertendo a desigualdade 5<3+\sqrt{5-2x}<7 obtemos
\frac{1}{7}<\frac{1}{3+\sqrt{5-2x}}<\frac{1}{5}.

Resposta

\frac{1}{7}<\frac{1}{3+\sqrt{5-2 x}}<\frac{1}{5}

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