Questão 1. Calcule as seguintes integrais:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo
do integrando
.\n
As informações dadas são:
As informações dadas são:
o integrando é
e a integral a calcular é
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?
Passo 2
Justificativa do método: a função
é contínua em todo o retângulo
, logo podemos aplicar o Teorema de Fubini e trocar a ordem de integração ou escolher a ordem mais conveniente. Vou integrar primeiro em
(tratando
como constante) porque a antiderivada em relação a
fica simples.\n
Escrevendo a integral na ordem :
Escrevendo a integral na ordem
Passo 3
Cálculo da integral interna em
. Aqui
é tratado como constante. Lembrete útil: para
vale
porque a derivada de
em relação a
é
. Portanto, com
temos
onde a simplificação
é válida para
. Note que em
o integrando é identicamente zero e a fórmula por continuidade também vale.
Passo 4
Avaliar a primitiva entre os limites
e
:
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 5
Calcular a integral em
. Conhecendo primitivias básicas:
pois a derivada de
é
. Então
Passo 6
Avaliar a expressão nos extremos
e
. Primeiro em
:
Em
:
Subtraindo: