Questão 1. Calcule as seguintes integrais:
\iint_{R}-y \cos (x y) d A, onde R=[1,2] \times[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo R=[1,2]\times[0,\pi] do integrando -y\cos(xy).\n
As informações dadas são:
R = \{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\;0\le y\le \pi\},
o integrando é -y\cos(xy) e a integral a calcular é
\iint_{R} -y\cos(xy)\,dA.
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?

Passo 2

Justificativa do método: a função (x,y)\mapsto -y\cos(xy) é contínua em todo o retângulo R, logo podemos aplicar o Teorema de Fubini e trocar a ordem de integração ou escolher a ordem mais conveniente. Vou integrar primeiro em x (tratando y como constante) porque a antiderivada em relação a x fica simples.\n
Escrevendo a integral na ordem dx\,dy:
\iint_{R} -y\cos(xy)\,dA = \int_{y=0}^{\pi}\left(\int_{x=1}^{2} -y\cos(xy)\,dx\right)dy.

Passo 3

Cálculo da integral interna em x. Aqui y é tratado como constante. Lembrete útil: para a\neq 0 vale
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax),
porque a derivada de \sin(ax) em relação a x é a\cos(ax). Portanto, com a=y temos
\int -y\cos(xy)\,dx = -y\cdot\frac{1}{y}\sin(xy) = -\sin(xy),
onde a simplificação y\cdot\frac{1}{y}=1 é válida para y\neq 0. Note que em y=0 o integrando é identicamente zero e a fórmula por continuidade também vale.

Passo 4

Avaliar a primitiva entre os limites x=1 e x=2:
\int_{x=1}^{2} -y\cos(xy)\,dx = \bigl[-\sin(xy)\bigr]_{x=1}^{x=2} = -\sin(2y)+\sin(y).
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em y:
\iint_{R} -y\cos(xy)\,dA = \int_{0}^{\pi} \bigl(\sin(y)-\sin(2y)\bigr)\,dy.

Passo 5

Calcular a integral em y. Conhecendo primitivias básicas:
\int \sin(y)\,dy = -\cos(y), \qquad \int \sin(2y)\,dy = -\frac{1}{2}\cos(2y),
pois a derivada de \cos(ky) é -k\sin(ky). Então
\int_{0}^{\pi} \bigl(\sin(y)-\sin(2y)\bigr)\,dy = \left[-\cos(y)+\frac{1}{2}\cos(2y)\right]_{0}^{\pi}.

Passo 6

Avaliar a expressão nos extremos y=\pi e y=0. Primeiro em y=\pi:
-\cos(\pi)+\frac{1}{2}\cos(2\pi) = -(-1)+\frac{1}{2}\cdot 1 = 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Em y=0:
-\cos(0)+\frac{1}{2}\cos(0) = -1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
Subtraindo:
\frac{3}{2}-\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados