Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral sen^3(2 x) cos ^4(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sen^3(2x),cos^4(2x),dx
O conteúdo é integração de potência de funções trigonométricas. Como a potência de sen é ímpar, vamos isolar um fator sen(2x),dx e usar identidades trigonométricas para reduzir a integral a um polinômio em cos(2x).

Passo 2

Reescrevendo a integranda, extraímos um sen(2x) e usamos sen^2(2x)=1-cos^2(2x):
sen^3(2x),cos^4(2x) = l(sen^2(2x)r),sen(2x),cos^4(2x) = l(1-cos^2(2x)r),cos^4(2x),sen(2x)

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos(2x), du = -2,sen(2x),dx ;Longrightarrow; sen(2x),dx = -tfrac12,du
A integral em x passa a ser em u:
integral sen^3(2x),cos^4(2x),dx = integral l(1 - u^2r),u^4,l(-tfrac12,dur) = -tfrac12 integral l(u^4 - u^6r),du

Passo 4

Agora integramos o polinômio em u:
-tfrac12 integral l(u^4 - u^6r),du = -tfrac12 l(u^55 - u^77r) = -u^510 + u^714 + C

Passo 5

Voltando a x com u=cos(2x), obtemos
integral sen^3(2x),cos^4(2x),dx = -cos^5(2x)10 + cos^7(2x)14 + C

Resposta

-cos^5(2x)10 + cos^7(2x)14 + C

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