Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral
Informações dadas que são relevantes:
- O integrando é o produto de potências de cosseno e seno:
e . - Ambas as potências são ímpares (
e ). - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).
Passo 2
Observação útil (sem ainda resolver): quando temos produto de
e pelo menos um dos expoentes
ou
é ímpar, uma estratégia prática é separar um fator do seno ou do cosseno (o que tiver potência ímpar), usar a identidade pitagórica para converter o resto em função do outro, e então fazer uma substituição simples. Aqui ambos são ímpares, então podemos escolher separar um fator
(ou um
); vou separar
para que possamos fazer a substituição
. Vou explicar por que isso funciona na prática.
Passo 3
Separe um fator
e escreva
como
. Use a identidade pitagórica
, que dá
. Assim:
Aqui expliquei: tirei um
para usar como parte do
na substituição e converti o resto em função de
.
Passo 4
Faça a substituição clássica para esse tipo de integral:
Então
Substituindo na integral obtemos:
Ou seja,
Passo 5
Expanda o polinômio
para integrar termo a termo. Primeiro:
Multiplicando por
:
Portanto a integral em
é
Passo 6
Integre termo a termo usando a regra de potências: para
,
Aplicando ao integrando:
Simplifique o coeficiente do termo
:
. Assim:
Passo 7
Volte à variável original
substituindo
. Assim a primitiva fica:
Passo 8
Resumo didático e dica para a prova: quando aparecer
e um dos expoentes for ímpar, separe um fator da função cujo expoente é ímpar, use
ou
para converter o restante, e então faça a substituição
ou
. Assim reduz-se tudo a um polinômio em
, que é fácil de integrar sem calculadora.