Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int \cos (x)^{5} \operatorname{sen}(x)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int \cos(x)^{5}\sin(x)^{5}\,dx.
Informações dadas que são relevantes:
  • O integrando é o produto de potências de cosseno e seno: \cos^5 x e \sin^5 x.
  • Ambas as potências são ímpares ( 5 e 5).
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).

Passo 2

Observação útil (sem ainda resolver): quando temos produto de \cos^m x\sin^n x e pelo menos um dos expoentes m ou n é ímpar, uma estratégia prática é separar um fator do seno ou do cosseno (o que tiver potência ímpar), usar a identidade pitagórica para converter o resto em função do outro, e então fazer uma substituição simples. Aqui ambos são ímpares, então podemos escolher separar um fator \sin x (ou um \cos x); vou separar \sin x para que possamos fazer a substituição u=\cos x. Vou explicar por que isso funciona na prática.

Passo 3

Separe um fator \sin x e escreva \sin^4 x como (\sin^2 x)^2. Use a identidade pitagórica \sin^2 x + \cos^2 x = 1, que dá \sin^2 x = 1-\cos^2 x. Assim:
\cos^5 x\,\sin^5 x = \cos^5 x\,\sin^4 x\,\sin x = \cos^5 x\big(\sin^2 x\big)^2\sin x = \cos^5 x\big(1-\cos^2 x\big)^2\sin x.
Aqui expliquei: tirei um \sin x para usar como parte do dx na substituição e converti o resto em função de \cos x.

Passo 4

Faça a substituição clássica para esse tipo de integral:
u=\cos x.
Então
du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -du.
Substituindo na integral obtemos:
\int \cos^5 x\,\sin^5 x\,dx = \int \cos^5 x\big(1-\cos^2 x\big)^2\sin x\,dx = \int u^5(1-u^2)^2(-du).
Ou seja,
\int \cos^5 x\,\sin^5 x\,dx = -\int u^5(1-u^2)^2\,du.

Passo 5

Expanda o polinômio (1-u^2)^2 para integrar termo a termo. Primeiro:
(1-u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4.
Multiplicando por u^5:
u^5(1-u^2)^2 = u^5 - 2u^7 + u^9.
Portanto a integral em u é
-\int \big(u^5 - 2u^7 + u^9\big)\,du.

Passo 6

Integre termo a termo usando a regra de potências: para n\neq -1,
\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando ao integrando:
-\int \big(u^5 - 2u^7 + u^9\big)\,du = -\left(\frac{u^6}{6} - 2\cdot\frac{u^8}{8} + \frac{u^{10}}{10}\right) + C.
Simplifique o coeficiente do termo u^8: 2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}. Assim:
-\left(\frac{u^6}{6} - \frac{u^8}{4} + \frac{u^{10}}{10}\right) + C = -\frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{4} - \frac{u^{10}}{10} + C.

Passo 7

Volte à variável original \,x substituindo u=\cos x. Assim a primitiva fica:
-\frac{\cos^6 x}{6} + \frac{\cos^8 x}{4} - \frac{\cos^{10} x}{10} + C.

Passo 8

Resumo didático e dica para a prova: quando aparecer \int \cos^m x\sin^n x\,dx e um dos expoentes for ímpar, separe um fator da função cujo expoente é ímpar, use \sin^2 x=1-\cos^2 x ou \cos^2 x=1-\sin^2 x para converter o restante, e então faça a substituição u=\cos x ou u=\sin x. Assim reduz-se tudo a um polinômio em u, que é fácil de integrar sem calculadora.

Resposta

-\dfrac{\cos^{6}x}{6}+\dfrac{\cos^{8}x}{4}-\dfrac{\cos^{10}x}{10}+C

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