Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos (2 x) \operatorname{sen}(2 x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(2x)\,\sin(2x)^{2}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\cos(2x)\sin(2x)^{2}; \qquad \text{intervalo: }x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

Passo 2

Vamos procurar uma primitiva (antiderivada) do integrando. Uma observação útil: a função \sin(2x) aparece elevada ao quadrado e multiplicada por \cos(2x). Isto sugere que a derivada de \sin(2x) está presente (pois \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)), então podemos usar a regra da cadeia / substituição. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro, calcule a derivada de \sin(2x) para ver a relação:
\frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x).
Agora considere a função \sin(2x)^{3}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sin(2x)^{3}=3\sin(2x)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\sin(2x) =3\sin(2x)^{2}\cdot 2\cos(2x)=6\sin(2x)^{2}\cos(2x).
Portanto uma primitiva de \sin(2x)^{2}\cos(2x) é
\frac{\sin(2x)^{3}}{6},
porque ao derivar \dfrac{\sin(2x)^{3}}{6} obtemos exatamente \sin(2x)^{2}\cos(2x).

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é a diferença das primitivadas nos extremos. Assim
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(2x)\sin(2x)^{2}\,dx =\left.\frac{\sin(2x)^{3}}{6}\right|_{x=-\pi/2}^{x=\pi/2}.

Passo 5

Calcule os valores das funções trigonométricas nos extremos. Para x=\pi/2 temos 2x=\pi e \sin(\pi)=0. Para x=-\pi/2 temos 2x=-\pi e \sin(-\pi)=0. Logo
\left.\frac{\sin(2x)^{3}}{6}\right|_{x=-\pi/2}^{x=\pi/2} =\frac{\sin(\pi)^{3}}{6}-\frac{\sin(-\pi)^{3}}{6} =\frac{0^{3}}{6}-\frac{0^{3}}{6}=0.

Passo 6

Confirmação alternativa (curta): fazendo a substituição u=\sin(2x) temos du=2\cos(2x)\,dx, então
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(2x)\sin(2x)^{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{u(-\pi/2)}^{u(\pi/2)}u^{2}\,du =\frac{1}{2}\int_{0}^{0}u^{2}\,du=0,
porque \sin(2\cdot(-\pi/2))=\sin(-\pi)=0 e \sin(2\cdot\pi/2)=\sin(\pi)=0.

Resposta

0

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