Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int \cos (x)^{4} \operatorname{sen}(x)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos(x)^{4}\,\operatorname{sen}(x)^{4}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de potências de funções trigonométricas básicas, \cos(x) e \operatorname{sen}(x), ambas com expoente 4. Não há limites (é uma primitiva indefinida), então o resultado final deverá conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar identidades trigonométricas de redução de potência (power-reduction). Por quê? Porque temos potências pares de \operatorname{sen} e \cos; essas identidades transformam potências em combinações de cossenos de múltiplos ângulos, o que facilita integrar termo a termo sem precisar de substituições complicadas. Esse é o método mais direto e rápido para potências pares.

Passo 3

Primeira simplificação: note que podemos agrupar as potências como
\cos(x)^{4}\,\operatorname{sen}(x)^{4} = \big(\cos^2 x\,\operatorname{sen}^2 x\big)^2.
Agora use a identidade do ângulo duplo \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen} x\cos x. Elevando ao quadrado:
\operatorname{sen}^2(2x)=4\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x.
Isolando \operatorname{sen}^2 x\cos^2 x obtemos
\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\operatorname{sen}^2(2x).
Portanto
\cos(x)^{4}\,\operatorname{sen}(x)^{4}=\big(\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x\big)^2=\left(\frac{1}{4}\operatorname{sen}^2(2x)\right)^2=\frac{1}{16}\operatorname{sen}^4(2x).

Passo 4

Agora precisamos reduzir \operatorname{sen}^4(2x). Primeiro lembramos a identidade de redução para \operatorname{sen}^2 t:
\operatorname{sen}^2 t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Aplicando-a duas vezes (pois \operatorname{sen}^4 t=(\operatorname{sen}^2 t)^2) obtemos:
\operatorname{sen}^4 t=\left(\frac{1-\cos(2t)}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\big(1-2\cos(2t)+\cos^2(2t)\big).
Em seguida usamos a identidade \cos^2 u=\frac{1+\cos(2u)}{2} com u=2t:
\cos^2(2t)=\frac{1+\cos(4t)}{2}.
Substituindo:
\operatorname{sen}^4 t=\frac{1}{4}\left(1-2\cos(2t)+\frac{1+\cos(4t)}{2}\right) =\frac{3-4\cos(2t)+\cos(4t)}{8}.
Essa é uma identidade padrão: \operatorname{sen}^4 t=\dfrac{3-4\cos(2t)+\cos(4t)}{8}.

Passo 5

Aplique a identidade acima com t=2x:
\operatorname{sen}^4(2x)=\frac{3-4\cos(4x)+\cos(8x)}{8}.
Lembrando do fator \tfrac{1}{16} que tínhamos, a integranda fica
\cos(x)^{4}\,\operatorname{sen}(x)^{4}=\frac{1}{16}\operatorname{sen}^4(2x)=\frac{1}{16}\cdot\frac{3-4\cos(4x)+\cos(8x)}{8} =\frac{3-4\cos(4x)+\cos(8x)}{128}.

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
\int \cos(x)^{4}\,\operatorname{sen}(x)^{4}\,dx =\int \frac{3}{128}\,dx-\int \frac{4}{128}\cos(4x)\,dx+\int \frac{1}{128}\cos(8x)\,dx.
Simplificando coeficientes:
=\frac{3}{128}\int dx-\frac{1}{32}\int \cos(4x)\,dx+\frac{1}{128}\int \cos(8x)\,dx.

Passo 7

Calcule as primitivas conhecidas:
  • \displaystyle \int dx = x.
  • \displaystyle \int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}\operatorname{sen}(4x) (porque derivada de \operatorname{sen}(4x) é 4\cos(4x)).
  • \displaystyle \int \cos(8x)\,dx = \frac{1}{8}\operatorname{sen}(8x).
Aplicando:
\int \cos(x)^{4}\,\operatorname{sen}(x)^{4}\,dx =\frac{3}{128}x-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{4}\operatorname{sen}(4x)+\frac{1}{128}\cdot\frac{1}{8}\operatorname{sen}(8x)+C.

Passo 8

Simplifique os coeficientes:
-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{1}{128}, \qquad \frac{1}{128}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{1024}.
Portanto a primitiva final é
\frac{3}{128}x-\frac{1}{128}\operatorname{sen}(4x)+\frac{1}{1024}\operatorname{sen}(8x)+C.

Resposta

\frac{3}{128}x-\frac{1}{128}\operatorname{sen}(4x)+\frac{1}{1024}\operatorname{sen}(8x)+C

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