Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função integranda é o produto de potências de funções trigonométricas básicas,
e
, ambas com expoente
. Não há limites (é uma primitiva indefinida), então o resultado final deverá conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar identidades trigonométricas de redução de potência (power-reduction). Por quê? Porque temos potências pares de
e
; essas identidades transformam potências em combinações de cossenos de múltiplos ângulos, o que facilita integrar termo a termo sem precisar de substituições complicadas. Esse é o método mais direto e rápido para potências pares.
Passo 3
Primeira simplificação: note que podemos agrupar as potências como
Agora use a identidade do ângulo duplo
. Elevando ao quadrado:
Isolando
obtemos
Portanto
Passo 4
Agora precisamos reduzir
. Primeiro lembramos a identidade de redução para
:
Aplicando-a duas vezes (pois
) obtemos:
Em seguida usamos a identidade
com
:
Substituindo:
Essa é uma identidade padrão:
.
Passo 5
Aplique a identidade acima com
:
Lembrando do fator
que tínhamos, a integranda fica
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
Simplificando coeficientes:
Passo 7
Calcule as primitivas conhecidas:
-
. -
(porque derivada de é ). -
.
Aplicando:
Passo 8
Simplifique os coeficientes:
Portanto a primitiva final é