Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Não há limites: é uma primitiva indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Vamos simplificar a integranda usando uma identidade trigonométrica simples e muito útil:
Explico por quê: a expressão
pode ser vista como
, e
. Usando a identidade acima teremos uma forma em função de
, que costuma facilitar muito a redução de potências.
Passo 3
Aplicando a ideia do passo anterior:
Logo a integral vira
Isso já reduziu o problema para integrar uma potência par de
de um ângulo duplo.
Passo 4
Agora usamos a fórmula de redução de potência para
. A identidade é
Daí
Aplique isso com
. Então
Ainda temos
— reduzimos novamente usando
Com
obtemos
. Substituindo,
Passo 5
Continuo a simplificação algébrica passo a passo:
Multiplicando por
,
Lembre que a integral original tinha fator
. Então
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Primeiro digo a fórmula que uso: para qualquer constante
,
Aplicando:
Passo 7
Faço as multiplicações dos coeficientes:
Portanto a primitiva final é