Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int \cos (x)^{4} \operatorname{sen}(x)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos(x)^{4}\,\operatorname{sen}(x)^{4}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \cos^{4}(x)\,\sin^{4}(x).
  • Não há limites: é uma primitiva indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos simplificar a integranda usando uma identidade trigonométrica simples e muito útil:
\sin(2x)=2\sin x\cos x \quad\Rightarrow\quad \sin x\cos x=\frac{\sin(2x)}{2}.
Explico por quê: a expressão \cos^{4}x\,\sin^{4}x pode ser vista como (\cos^{2}x\,\sin^{2}x)^{2}, e \cos^{2}x\,\sin^{2}x=(\sin x\cos x)^{2}. Usando a identidade acima teremos uma forma em função de \sin(2x), que costuma facilitar muito a redução de potências.

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior:
\cos^{4}x\,\sin^{4}x=\big((\sin x\cos x)^{2}\big)^{2}=(\sin x\cos x)^{4}=\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)^{4}=\frac{\sin^{4}(2x)}{16}.
Logo a integral vira
\int \cos^{4}x\,\sin^{4}x\,dx=\frac{1}{16}\int \sin^{4}(2x)\,dx.
Isso já reduziu o problema para integrar uma potência par de \sin de um ângulo duplo.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de redução de potência para \sin^{2}. A identidade é
\sin^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
Daí
\sin^{4}u=(\sin^{2}u)^{2}=\left(\frac{1-\cos(2u)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\big(1-2\cos(2u)+\cos^{2}(2u)\big).
Aplique isso com u=2x. Então
\sin^{4}(2x)=\frac{1}{4}\big(1-2\cos(4x)+\cos^{2}(4x)\big).
Ainda temos \cos^{2}(4x) — reduzimos novamente usando
\cos^{2}v=\frac{1+\cos(2v)}{2}.
Com v=4x obtemos \cos^{2}(4x)=\frac{1+\cos(8x)}{2}. Substituindo,
\sin^{4}(2x)=\frac{1}{4}\left(1-2\cos(4x)+\frac{1+\cos(8x)}{2}\right).

Passo 5

Continuo a simplificação algébrica passo a passo:
\sin^{4}(2x)=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{2}-2\cos(4x)+\frac{1}{2}+\frac{\cos(8x)}{2}\right) =\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}-2\cos(4x)+\frac{\cos(8x)}{2}\right).
Multiplicando por \tfrac{1}{4},
\sin^{4}(2x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(4x)+\frac{1}{8}\cos(8x).
Lembre que a integral original tinha fator \tfrac{1}{16}. Então
\frac{1}{16}\sin^{4}(2x)=\frac{3}{128}-\frac{1}{32}\cos(4x)+\frac{1}{128}\cos(8x).

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Primeiro digo a fórmula que uso: para qualquer constante a,
\int \cos(a x)\,dx=\frac{1}{a}\sin(a x)+\text{constante}.
Aplicando:
\int\left(\frac{3}{128}-\frac{1}{32}\cos(4x)+\frac{1}{128}\cos(8x)\right)dx =\frac{3}{128}x-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x)+\frac{1}{128}\cdot\frac{1}{8}\sin(8x)+C.

Passo 7

Faço as multiplicações dos coeficientes:
-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{1}{128},\qquad \frac{1}{128}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{1024}.
Portanto a primitiva final é
\frac{3x}{128}-\frac{1}{128}\sin(4x)+\frac{1}{1024}\sin(8x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{3x}{128}-\frac{1}{128}\sin(4x)+\frac{1}{1024}\sin(8x)+C

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