Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int \frac{3}{1-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3}{1-x}\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A integranda é \dfrac{3}{1-x}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, devemos adicionar uma constante de integração).
  • O denominador é uma função linear de x (forma 1-x), o que sugere uma substituição simples ou uso direto da primitiva do tipo 1/u.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar: defina
u = 1 - x.
Expliquei por que escolhi isso: a parte complicada é o 1-x no denominador, então se eu chamar isso de u a integral vira algo do tipo 1/u, cuja primitiva conhecemos. Agora calculemos o diferencial:
du = -dx \quad\Rightarrow\quad dx = -du.

Passo 3

Substitua na integral original. Temos
\frac{3}{1-x}\,dx = \frac{3}{u}\cdot(-du) = -3\cdot\frac{1}{u}\,du.
Portanto a integral passa a ser
\int \frac{3}{1-x}\,dx = \int -3\cdot\frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Agora usamos a primitiva conhecida: a função cuja derivada é \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Ou seja,
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
Aplicando isso com o fator -3:
\int -3\cdot\frac{1}{u}\,du = -3\ln|u| + C.

Passo 5

Volte à variável original x usando u=1-x. Assim a primitiva é
-3\ln|1-x| + C.
Observação útil para a prova: como |1-x|=|x-1|, você também pode escrever a resposta como -3\ln|x-1|+C; ambas são equivalentes.

Resposta

-3\ln|1-x|+C

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