Questão 6) Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{x x^{2}}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x\,x^{2}}{(x+1)^{2}}\,dx,
ou seja,
\int \frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}\,dx.
O conteúdo envolve divisão de polinômios (para simplificar a fração) e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de polinômios de x^{3} por (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1. Pelo método da divisão:
\frac{x^{3}}{(x+1)^{2}} = x - 2 + \frac{3x+2}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Então a integral se separa em
\int \frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x-2)\,dx \;+\;\int \frac{3x+2}{(x+1)^{2}}\,dx.

Passo 4

Calculemos a parte polinomial:
\int (x-2)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 2x.

Passo 5

Agora decomponha
\frac{3x+2}{(x+1)^{2}} = \frac{3(x+1)-1}{(x+1)^{2}} = \frac{3}{x+1} \;-\;\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 6

Integramos cada termo da decomposição:
\int \frac{3}{x+1}\,dx = 3\ln\bigl|x+1\bigr|, \qquad \int \frac{-1}{(x+1)^{2}}\,dx = +\frac{1}{x+1}.
Logo,
\int \frac{3x+2}{(x+1)^{2}}\,dx = 3\ln\bigl|x+1\bigr| \;+\;\frac{1}{x+1}.

Passo 7

Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 2x + 3\ln\bigl|x+1\bigr| + \frac{1}{x+1} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x\,x^{2}}{(x+1)^{2}}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 2x + 3\ln\bigl|x+1\bigr| + \frac{1}{x+1} + C. }

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