Questão 6) Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{x e^{2}}{x^{2}+1} d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x\,e^{2}}{x^{2}+1}\,dx.
Aqui o conteúdo é uma integral onde aparece a derivada de x^{2}+1 no numerador, então vamos usar a técnica de substituição (ou reconhecer diretamente a derivada de \ln(x^{2}+1)).

Passo 2

Note que e^{2} é constante em relação a x, então podemos tirá-lo da integral:
\int \frac{x\,e^{2}}{x^{2}+1}\,dx = e^{2}\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x^{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Assim
e^{2}\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = e^{2}\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{e^{2}}{2}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral de 1/u é \ln|u|, então
\frac{e^{2}}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{e^{2}}{2}\ln\lvert u\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x^{2}+1>0, logo \ln|u| = \ln(x^{2}+1). Portanto a primitiva é
\frac{e^{2}}{2}\ln(x^{2}+1) + C.

Resposta

\frac{e^{2}}{2}\,\ln(x^{2}+1) + C.

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