Questão 6) Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{2 x-3}{x^{2}+x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x - 3}{x^2 + x + 1}\,dx.
O conteúdo principal aqui é decompor a fração em uma parte que seja a derivada do denominador (para gerar um logaritmo) e uma parte constante sobre o quadrático (para gerar um arctan). Também vamos completar o quadrado em x^2 + x + 1.

Passo 2

Começamos escrevendo
2x - 3 = A\,(2x + 1) + B,
onde 2x+1 é a derivada de x^2 + x + 1. Igualando coeficientes:
- Para x: 2 = 2A A = 1.
- Termo constante: -3 = A + B -3 = 1 + B B = -4.
Logo
\frac{2x-3}{x^2 + x + 1} = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} \;+\;\frac{-4}{x^2 + x + 1}.

Passo 3

Integramos a primeira parcela usando
\int \frac{2x+1}{x^2 + x + 1}\,dx = \int \frac{d(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} = \ln\bigl(x^2 + x + 1\bigr).

Passo 4

Para a segunda parcela, completamos o quadrado:
x^2 + x + 1 = \Bigl(x + \tfrac12\Bigr)^2 + \tfrac34.
Fazendo a mudança de variável t = x + \tfrac12, temos
\int \frac{dx}{x^2 + x + 1} = \int \frac{dt}{t^2 + \bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2} = \frac{2}{\sqrt3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2t}{\sqrt3}\Bigr) = \frac{2}{\sqrt3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr).
Multiplicando pelo coeficiente -4, obtemos
-4\int \frac{dx}{x^2 + x + 1} = -\frac{8}{\sqrt3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr).

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, chegamos ao resultado final.

Resposta

\int \frac{2x - 3}{x^2 + x + 1}\,dx = \ln\bigl(x^2 + x + 1\bigr) - \frac{8}{\sqrt3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr) + C.

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