Questão 8) Encontre uma formula para cada uma das seguintes integrais:
;
Passo 1
Estamos com a integral geral
onde
,
é parâmetro real e
é inteiro não-negativo. Vamos usar integração por partes repetida para montar uma relação de recorrência e, depois, resolver por indução, chegando a uma fórmula fechada.
Passo 2
Aplique integração por partes escolhendo
Então
Logo,
Passo 3
Observe que a nova integral é do tipo
.
Repetindo a mesma ideia (ou reconhecendo o padrão da derivada de ), chega-se por indução à expressão fechada
Repetindo a mesma ideia (ou reconhecendo o padrão da derivada de
Podemos checar o caso
para ver que bate com a parte por partes direta.