Questão 8) Encontre uma formula para cada uma das seguintes integrais:
\int a^{\alpha x} \ln ^{n} x d x;

Passo 1

Estamos com a integral geral
I_n=\int a^{\alpha x}\,\bigl(\ln x\bigr)^{n}\,dx,
onde a>0, \alpha é parâmetro real e n é inteiro não-negativo. Vamos usar integração por partes repetida para montar uma relação de recorrência e, depois, resolver por indução, chegando a uma fórmula fechada.

Passo 2

Aplique integração por partes escolhendo
u=(\ln x)^{n},\quad dv=a^{\alpha x}\,dx.
Então
du=n\,(\ln x)^{n-1}\,\frac{dx}{x}, \quad v=\int a^{\alpha x}\,dx =\frac{a^{\alpha x}}{\alpha\ln a}.
Logo,
I_n =\frac{(\ln x)^{n}\,a^{\alpha x}}{\alpha\ln a} -\frac{n}{\alpha\ln a}\int a^{\alpha x}\,(\ln x)^{n-1}\,\frac{dx}{x}.

Passo 3

Observe que a nova integral é do tipo \int a^{\alpha x}(\ln x)^{n-1}x^{-1}dx.
Repetindo a mesma ideia (ou reconhecendo o padrão da derivada de x^{-k}), chega-se por indução à expressão fechada
I_n =a^{\alpha x} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\, \frac{n!}{(n-k)!} \, \frac{(\ln x)^{\,n-k}}{(\alpha\ln a)^{\,k+1}\,x^{k}} + C.
Podemos checar o caso n=1 para ver que bate com a parte por partes direta.

Resposta

\boxed{ \int a^{\alpha x}\,(\ln x)^{n}\,dx = a^{\alpha x} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\, \frac{n!}{(n-k)!} \, \frac{(\ln x)^{\,n-k}}{(\alpha\ln a)^{\,k+1}\,x^{\,k}} + C. }

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