Questão 8) Encontre uma formula para cada uma das seguintes integrais:
\int a^{\alpha x} \cos x d x;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
\int a^{\alpha x}\cos x \,dx,
isto é, integrar um produto de uma exponencial base a e um cosseno. O conteúdo principal aqui é “integração de e^{kx} vezes função trigonométrica”, que a gente vai resolver usando integração por partes repetida.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
a^{\alpha x} = e^{\alpha x \ln a}.
Logo, basta achar
I = \int e^{k x}\cos x \,dx,
onde definimos k = \alpha \ln a. Depois a gente volta para a base a.

Passo 3

Aplicamos integração por partes em
I = \int e^{k x}\cos x\,dx.
Escolhendo
\begin{cases} u = e^{k x}, & dv = \cos x\,dx,\\\ du = k\,e^{k x}dx, & v = \sin x, \end{cases}
temos
I = e^{k x}\sin x - \int k\,e^{k x}\sin x\,dx.
Chamando
J = \int e^{k x}\sin x\,dx,
ficamos com
I = e^{k x}\sin x - k\,J.

Passo 4

Agora integramos J\) por partes de modo análogo: \[J = \int e^{k x}\sin x\,dx;
com
\begin{cases} u = e^{k x}, & dv = \sin x\,dx,\\\ du = k\,e^{k x}dx, & v = -\cos x, \end{cases}
obtém-se
J = -e^{k x}\cos x + \int k\,e^{k x}\cos x\,dx = -e^{k x}\cos x + k\,I.
Voltando em I = e^{k x}\sin x - k\,J\], temos \[I = e^{k x}\sin x - k\bigl(-e^{k x}\cos x + k\,I\bigr) = e^{k x}\sin x + k\,e^{k x}\cos x - k^2\,I.\] Isolando \(I:
I + k^2 I = e^{k x}\bigl(\sin x + k\cos x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{k x}\bigl(k\cos x + \sin x\bigr)}{k^2 + 1} + C.

Passo 5

Basta voltar k = \alpha \ln a e e^{k x} = a^{\alpha x}. Assim
\int a^{\alpha x}\cos x\,dx = \frac{a^{\alpha x}\bigl(\alpha\ln a\;\cos x + \sin x\bigr)}{(\alpha\ln a)^2 + 1} + C.

Resposta

\boxed{ \int a^{\alpha x}\cos x\,dx = \frac{a^{\alpha x}\bigl(\alpha\ln a\;\cos x + \sin x\bigr)}{(\alpha\ln a)^2 + 1} + C. }

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