Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{\pi / 2} \cos (x-\pi / 4) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\,dx.
Informações dadas:
\;0 é o limite inferior e \;\pi/2 é o limite superior.
A função a integrar é \cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal: uma forma direta é usar a substituição \;u=x-\frac{\pi}{4}\; que simplifica o argumento do cosseno, e então aplicar a antiderivada de \cos. Vou explicar esses passos e as fórmulas usadas.
Regra básica que usamos: a derivada de \sin é \cos, portanto
\int \cos t\,dt = \sin t + C,
onde t é uma variável qualquer e C é a constante de integração. Para integrais definidas com substituição, trocamos também os limites: se u=u(x), então os novos limites são u(a) e u(b) quando x=a e x=b.

Passo 3

Faço a substituição \;u=x-\frac{\pi}{4}. Então
du=dx.
Troco os limites:
quando x=0, temos u=0-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4};
quando x=\frac{\pi}{2}, temos u=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.
A integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/2} \cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\,dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos u\,du.

Passo 4

Agora aplico a antiderivada de \cos u:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos u\,du = \left.\sin u\right|_{u=-\pi/4}^{u=\pi/4} = \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right).
Conhecendo os valores das funções trigonométricas nos ângulos de 45^\circ:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.

Passo 5

Checagem alternativa (opcional, para fixar a ideia): usar a identidade de ângulo
\cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{4}+\sin x\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x).
Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\,dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\pi/2}(\cos x+\sin x)\,dx.
Calcule \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{0}^{\pi/2}=1 e \int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_{0}^{\pi/2}=1. Soma é 2. Multiplicando por \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2}, mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.

Resposta

\sqrt{2}

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