Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
é o limite inferior e
é o limite superior.
A função a integrar é .
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
A função a integrar é
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal: uma forma direta é usar a substituição
que simplifica o argumento do cosseno, e então aplicar a antiderivada de
. Vou explicar esses passos e as fórmulas usadas.
Regra básica que usamos: a derivada de
é
, portanto
onde
é uma variável qualquer e
é a constante de integração. Para integrais definidas com substituição, trocamos também os limites: se
, então os novos limites são
e
quando
e
.
Passo 3
Faço a substituição
. Então
Troco os limites:
quando , temos
;
quando , temos
.
A integral passa a ser
quando
quando
A integral passa a ser
Passo 4
Agora aplico a antiderivada de
:
Conhecendo os valores das funções trigonométricas nos ângulos de
:
Portanto
Passo 5
Checagem alternativa (opcional, para fixar a ideia): usar a identidade de ângulo
Então
Calcule
e
. Soma é
. Multiplicando por
dá
, mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.