Questão 9)* Calcule as seguintes integrais:
\int \sqrt{\cos x} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{\cos x}\,dx.
O conteúdo principal envolvido é manipular identidades trigonométricas para reduzir a raiz a uma forma padrão de integral elíptica. Vamos usar a fórmula de meia-ângulo e a definição de integral elíptica incompleta do segundo tipo.

Passo 2

Aplicamos a identidade de meia-ângulo para o cosseno:
\cos x = 1 - 2\sin^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Logo
\sqrt{\cos x} = \sqrt{1 - 2\sin^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 3

Fazemos a substituição
\displaystyle u = \frac{x}{2},\quad dx = 2\,du.
Assim a integral fica
\int \sqrt{\cos x}\,dx = 2\int \sqrt{1 - 2\sin^2(u)}\,du.

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão da integral elíptica incompleta do segundo tipo, definida por
E(\varphi \mid m) = \int_{0}^{\varphi} \sqrt{1 - m\,\sin^2\theta}\;d\theta.
No nosso caso, tomamos a constante de parâmetro m=2, e a integração é indefinida, logo
\int \sqrt{1 - 2\sin^2(u)}\,du = E\bigl(u\mid 2\bigr) + C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x (isto é, u=x/2) e absorvendo constantes, obtemos
\int \sqrt{\cos x}\,dx = 2\,E\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigm|2\bigr) + C,
onde C é a constante de integração geral.

Resposta

\int \sqrt{\cos x}\,dx = 2\,E\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigm|2\bigr) + C.

Exercícios relacionados