Mostre que a sequência x_{n}=\frac{1}{n^{k}} converge para zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência \bigl(x_{n}\bigr) definida por
x_{n} = \frac{1}{n^{k}},
com k>0 fixo, converge para zero. O conteúdo aqui é definição de limite de sequência: para todo \varepsilon>0 devemos encontrar um N tal que, sempre que n>N, \bigl|x_{n}-0\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Seja arbitrário \varepsilon>0. Queremos
\bigl|x_{n}-0\bigr| = \frac{1}{n^{k}} < \varepsilon.
Essa desigualdade é equivalente a
n^{k} > \frac{1}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n > \Bigl(\tfrac{1}{\varepsilon}\Bigr)^{\!1/k}.

Passo 3

Definimos
N = \left\lceil \Bigl(\tfrac{1}{\varepsilon}\Bigr)^{\!1/k} \right\rceil.
Então, para todo n > N vale n > (\tfrac{1}{\varepsilon})^{1/k}, logo n^{k} > 1/\varepsilon e
\frac{1}{n^{k}} < \varepsilon.
Isso mostra que, dado qualquer \varepsilon>0, existe N que garante \bigl|x_{n}-0\bigr|<\varepsilon sempre que n>N.

Resposta

A sequência \displaystyle x_{n}=\frac{1}{n^{k}} converge para 0, isto é,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{k}} = 0.

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