Mostre que a sequência x_{n}=\frac{\cos (5 n)}{n^{k}} converge para zero.

Passo 1

O enunciado define a sequência
x_{n} = \frac{\cos(5n)}{n^{k}}
e pede para mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0.
O conteúdo central é o Teorema do Confronto para limites de sequência, sabendo que \cos é função limitada e que n^{-k}\to0 para k>0.

Passo 2

Usamos que para todo n vale \lvert\cos(5n)\rvert\le1. Logo,
\lvert x_n\rvert =\frac{\lvert\cos(5n)\rvert}{n^k} \le\frac{1}{n^k}.

Passo 3

Para k>0 é clássico que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0.
Como
-\frac{1}{n^k}\le x_n\le\frac{1}{n^k}
e ambas as sequências \pm1/n^k convergem para 0, pelo Teorema do Confronto concluímos
\lim_{n\to\infty}x_n=0.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0.

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