Questão 2. Calcule as seguintes integrais observando que o denominador possui termos não fatoráveis.
integral x-1x^2-4 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
integral x-1x^2-4x+5,dx
Observação: o polinômio do denominador não tem raízes reais, então vamos completar o quadrado em x^2-4x+5 e depois decompor o numerador para separar em um termo que gera logaritmo e outro que gera arco-tangente.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
x^2-4x+5 = (x^2-4x+4)+1 = (x-2)^2+1
Logo a integral vira
integral x-1(x-2)^2+1,dx

Passo 3

Reescreva o numerador em função de (x-2). Note que
x-1 = (x-2) +1
Portanto
x-1(x-2)^2+1 = x-2(x-2)^2+1 + 1(x-2)^2+1
A integral se separa em
integral x-2(x-2)^2+1,dx ;+; integral 1(x-2)^2+1,dx

Passo 4

Para
integral x-2(x-2)^2+1,dx
faça a troca de variável
u = (x-2)^2+1, du = 2(x-2),dx
Então
integral x-2(x-2)^2+1,dx = 12 integral duu = 12 lnl|ur| + C1 = 12 lnl((x-2)^2+1r) + C1

Passo 5

Para
integral 1(x-2)^2+1,dx
reconhecemos a forma da derivada de arctan. Logo
integral 1(x-2)^2+1,dx = arctan(x-2) + C2

Passo 6

Somando os dois resultados e juntando as constantes de integração em uma só, obtemos a primitiva geral:
12 lnl((x-2)^2+1r) ;+; arctan(x-2) ;+; C

Resposta

boxedintegral x-1x^2-4x+5,dx = 12 lnl((x-2)^2+1r) + arctan(x-2) + C

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