Questão 2. Calcule as seguintes integrais observando que o denominador possui termos não fatoráveis.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule
Observação: o polinômio do denominador não tem raízes reais, então vamos completar o quadrado em e depois decompor o numerador para separar em um termo que gera logaritmo e outro que gera arco-tangente.
Passo 2
Complete o quadrado no denominador:
Logo a integral vira
Passo 3
Reescreva o numerador em função de . Note que
Portanto
A integral se separa em
Passo 4
Para
faça a troca de variável
Então
Passo 5
Para integral 1(x-2)^2+1,dx
reconhecemos a forma da derivada de arctan. Logo
integral 1(x-2)^2+1,dx = arctan(x-2) + C2
Passo 6
Somando os dois resultados e juntando as constantes de integração em uma só, obtemos a primitiva geral:
12 lnl((x-2)^2+1r) ;+; arctan(x-2) ;+; C
Resposta
boxedintegral x-1x^2-4x+5,dx = 12 lnl((x-2)^2+1r) + arctan(x-2) + C