Questão 5. Calcule os seguintes limites envolvendo funções trigonométricas.
\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{1+\cos x}{x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\pi/4}\frac{1+\cos x}{x}
Isso envolve funções trigonométricas e uma divisão por x. Como \cos x é contínua e x tende a um valor diferente de zero, podemos simplesmente substituir x=\pi/4.

Passo 2

Verificamos que o denominador não se anula em x=\pi/4, pois \pi/4\neq0. Logo não há indeterminação do tipo 0/0 ou \infty/\infty, e vale
\lim_{x\to\pi/4}\frac{1+\cos x}{x} =\frac{1+\cos(\pi/4)}{\pi/4}.

Passo 3

Calculamos \cos(\pi/4). Sabemos que
\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
1+\cos(\pi/4) =1+\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{2+\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo no quociente,
\frac{1+\cos(\pi/4)}{\pi/4} =\frac{\displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle\frac{\pi}{4}} =\frac{2+\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{4}{\pi} =\frac{(2+\sqrt{2})\cdot2}{\pi} =\frac{4+2\sqrt{2}}{\pi}.

Resposta

\lim_{x\to\pi/4}\frac{1+\cos x}{x} =\frac{4+2\sqrt{2}}{\pi}.

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