Questão 5. Calcule os seguintes limites envolvendo funções trigonométricas.
\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{x+1}{\sin x}

Passo 1

O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{x\to\pi/2}\frac{x+1}{\sin x}.
Estamos em um tema de limites de funções trigonométricas e vamos usar que \sin x é contínua em x=\pi/2 e não se anula ali.

Passo 2

Avaliaremos o numerador e o denominador em x=\pi/2. O numerador tende a \displaystyle \pi/2 + 1,
enquanto o denominador tende a \displaystyle \sin(\pi/2)=1,
que é diferente de zero. Não há indeterminação, então podemos substituir diretamente.

Passo 3

Substituindo x=\pi/2 em cada parte, obtemos
\frac{\pi/2 + 1}{1} = \frac{\pi}{2} + 1.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2} + 1

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