Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x^{2}}
e, se existir indeterminação, identificá-la. Informação dada: estamos aproximando x por valores positivos que tendem a 0; a expressão é uma potência cuja base é x e cujo expoente é x^{2}.

Passo 2

Observar o comportamento da base e do expoente separadamente quando x\to 0^{+}:
\text{base: } x \to 0^{+},\qquad \text{expoente: } x^{2} \to 0^{+}.
Portanto a forma é do tipo 0^{0}, que é uma indeterminação: dependendo de como a base e o expoente se aproximam de 0, o limite pode assumir valores diferentes. Então precisamos analisar com mais cuidado.

Passo 3

Como a expressão é positiva para x>0, é conveniente tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Defina
y(x)=x^{x^{2}}.
Tomando logaritmo natural:
\ln y(x)=x^{2}\ln x.
Se conseguirmos calcular \lim_{x\to 0^{+}} \ln y(x), então o limite desejado será \exp desse valor, isto é
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x^{2}} = \exp\!\bigg(\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x\bigg),
desde que o limite do logaritmo exista.

Passo 4

Calcular a nova limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x.
Esta expressão é do tipo 0\cdot(-\infty). Para avaliá-la, faço a substituição simples e direta x=e^{-u}. Quando x\to 0^{+}, temos u\to +\infty. Substituindo:
x^{2}\ln x = (e^{-u})^{2}\ln(e^{-u}) = e^{-2u}(-u) = -u\,e^{-2u}.
Agora avaliamos
\lim_{u\to +\infty} -u\,e^{-2u}.
É conhecido (e pode ser mostrado por L’Hôpital ou por comparação) que exponencial domina polinômios: u e^{-2u}\to 0 quando u\to\infty. Assim
\lim_{u\to +\infty} -u\,e^{-2u} = 0.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x = 0.

Passo 5

Voltando para a função original, como \lim_{x\to 0^{+}} \ln y(x)=0, segue que
\lim_{x\to 0^{+}} y(x) = \exp(0)=1.
Concluímos que o limite existe e vale 1. A indeterminação inicial era do tipo 0^{0}, mas o valor limite resultou em 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados