Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
e, se existir indeterminação, identificá-la. Informação dada: estamos aproximando
por valores positivos que tendem a
; a expressão é uma potência cuja base é
e cujo expoente é
.
Passo 2
Observar o comportamento da base e do expoente separadamente quando
:
Portanto a forma é do tipo
, que é uma indeterminação: dependendo de como a base e o expoente se aproximam de
, o limite pode assumir valores diferentes. Então precisamos analisar com mais cuidado.
Passo 3
Como a expressão é positiva para
, é conveniente tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Defina
Tomando logaritmo natural:
Se conseguirmos calcular
, então o limite desejado será
desse valor, isto é
desde que o limite do logaritmo exista.
Passo 4
Calcular a nova limite
Esta expressão é do tipo
. Para avaliá-la, faço a substituição simples e direta
. Quando
, temos
. Substituindo:
Agora avaliamos
É conhecido (e pode ser mostrado por L’Hôpital ou por comparação) que exponencial domina polinômios:
quando
. Assim
Portanto
Passo 5
Voltando para a função original, como
, segue que
Concluímos que o limite existe e vale
. A indeterminação inicial era do tipo
, mas o valor limite resultou em
.