Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
e identifique o tipo de indeterminação, se houver. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O que varia é
e estamos aproximando de .
Observando o comportamento das partes:
-
. -
(dependendo se ou ).
Portanto a forma é do tipo, que é uma indeterminação clássica: a base tende a enquanto o expoente tende a infinito, e o valor limite não é imediato.
Passo 2
Escolha do método: para tipos da forma
a técnica padrão é aplicar o logaritmo natural na expressão—isso transforma potência em produto/razão, normalmente levando a uma indeterminação do tipo
ou
onde podemos usar o Teorema de L’Hôpital ou séries de Taylor. Esta é uma técnica simples e eficaz para fazer este cálculo na prova sem grandes truques.
Passo 3
Defino
Como a função
é contínua, se existir o limite de
da expressão então podemos recuperar
fazendo exponencial no resultado. Faço o logaritmo:
Usando a propriedade
obtemos
Passo 4
Analisando a nova expressão:
- Quando
, e , então temos uma indeterminação do tipo .
Posso aplicar o Teorema de L’Hôpital (as funções são diferenciáveis próximas dee o quociente original é ). Derivando numerador e denominador em relação a : - Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Aplicando L’Hôpital:
Agora esse limite é direto:
(Comentário alternativo: poderíamos também usar a expansão
, o que dá
e leva ao mesmo resultado.)
Passo 5
Concluímos que
. Aplicando a função exponencial (inversa do logaritmo) ao valor encontrado para
, obtemos o limite pedido.