Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{2 / x}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to 0}(1+x)^{2/x}
e identifique o tipo de indeterminação, se houver. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é (1+x)^{2/x}.
  • O que varia é x e estamos aproximando x de 0.
Observando o comportamento das partes:
  • \lim_{x\to 0}(1+x)=1.
  • \lim_{x\to 0}\dfrac{2}{x}=\pm\infty (dependendo se x\to0^+ ou x\to0^-).
    Portanto a forma é do tipo 1^\infty, que é uma indeterminação clássica: a base tende a 1 enquanto o expoente tende a infinito, e o valor limite não é imediato.

Passo 2

Escolha do método: para tipos da forma 1^\infty a técnica padrão é aplicar o logaritmo natural na expressão—isso transforma potência em produto/razão, normalmente levando a uma indeterminação do tipo 0/0 ou \infty/\infty onde podemos usar o Teorema de L’Hôpital ou séries de Taylor. Esta é uma técnica simples e eficaz para fazer este cálculo na prova sem grandes truques.

Passo 3

Defino
L=\lim_{x\to 0}(1+x)^{2/x}.
Como a função \ln é contínua, se existir o limite de \ln da expressão então podemos recuperar L fazendo exponencial no resultado. Faço o logaritmo:
\ln L = \lim_{x\to 0} \ln\!\big((1+x)^{2/x}\big).
Usando a propriedade \ln(a^b)=b\ln a obtemos
\ln L = \lim_{x\to 0} \frac{2\ln(1+x)}{x}.

Passo 4

Analisando a nova expressão:
  • Quando x\to 0, \ln(1+x)\to 0 e x\to 0, então temos uma indeterminação do tipo 0/0.
    Posso aplicar o Teorema de L’Hôpital (as funções são diferenciáveis próximas de 0 e o quociente original é 0/0). Derivando numerador e denominador em relação a x:
  • Derivada do numerador 2\ln(1+x) é 2\cdot\frac{1}{1+x}.
  • Derivada do denominador x é 1.
Aplicando L’Hôpital:
\ln L = \lim_{x\to 0}\frac{2\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{2}{1+x}.
Agora esse limite é direto:
\lim_{x\to 0}\frac{2}{1+x}=\frac{2}{1+0}=2.
(Comentário alternativo: poderíamos também usar a expansão \ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+\cdots, o que dá \dfrac{2\ln(1+x)}{x}=2+o(1) e leva ao mesmo resultado.)

Passo 5

Concluímos que \ln L = 2. Aplicando a função exponencial (inversa do logaritmo) ao valor encontrado para \ln L, obtemos o limite pedido.
L = e^2.

Resposta

e^{2}

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