Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2}(x)}{e^{2 x}-2 x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^{2}(x)}{e^{2x}-2x-1}
e também que eu identifique o tipo de indeterminação, se houver. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão do numerador é 1-\cos^{2}(x).
  • A expressão do denominador é e^{2x}-2x-1.
  • Devemos analisar o comportamento quando x\to 0.
Avaliação direta em x=0:
  • Numerador em 0: 1-\cos^{2}(0)=1-1=0.
  • Denominador em 0: e^{0}-2\cdot 0-1=1-0-1=0.
Portanto, ao substituir x=0 obtemos a forma \frac{0}{0}, ou seja, há uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o numerador usando uma identidade trigonométrica clássica. A identidade é
1-\cos^{2}(x)=\sin^{2}(x).
Explicando: pela identidade pitagórica \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1, subtraindo \cos^{2}(x) de ambos os lados obtemos a igualdade acima. Então a expressão do limite fica
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{2}(x)}{e^{2x}-2x-1}.

Passo 3

Como temos a indeterminação \frac{0}{0}, um método apropriado é a Regra de l’Hôpital. Vou usar l’Hôpital porque é um procedimento direto: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e as derivadas f' e g' existem numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então, quando o limite de f'/g' existe (ou é \pm\infty), temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui aplicaremos l’Hôpital repetidas vezes se necessário. Antes de aplicar, já temos f(x)=\sin^{2}(x) e g(x)=e^{2x}-2x-1.

Passo 4

Calculemos as primeiras derivadas (vou explicar as regras usadas):
  • Para f(x)=\sin^{2}(x): usamos a regra da cadeia. Se u(x)=\sin(x) então f(x)=u(x)^{2} e f'(x)=2u(x)\,u'(x)=2\sin(x)\cos(x). Logo
f'(x)=2\sin(x)\cos(x).
  • Para g(x)=e^{2x}-2x-1: derivada de e^{2x} pela regra da cadeia é 2e^{2x}; derivada de -2x é -2; derivada de constante é 0. Então
g'(x)=2e^{2x}-2.
Agora consideramos o limite das derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin(x)\cos(x)}{2e^{2x}-2}.
Avaliação direta em x=0: numerador 2\sin(0)\cos(0)=0, denominador 2e^{0}-2=0. Ainda temos indeterminação 0/0. Portanto aplicamos l’Hôpital novamente.

Passo 5

Calculamos as segundas derivadas (derivando f' e g'):
  • Para f'(x)=2\sin(x)\cos(x): usamos a regra do produto ou a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x. Vou mostrar com produto para ser didático.
    Produto h(x)=\sin(x)\cdot\cos(x). Derivada h'(x)=\cos(x)\cos(x)+\sin(x)(- \sin(x))=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x).
    Multiplicando pelo fator 2 obtemos
    f''(x)=2(\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)).
    Comentário sobre as etapas: usei a regra do produto (uv)'=u'v+uv', com u=\sin x e v=\cos x.
  • Para g'(x)=2e^{2x}-2: derivando temos g''(x)=4e^{2x} (derivada de 2e^{2x} é 2\cdot 2 e^{2x}=4e^{2x}; derivada de -2 é 0).
Agora consideramos o limite das segundas derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2(\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x))}{4e^{2x}}.

Passo 6

Avaliação em x=0: \cos(0)=1 e \sin(0)=0, então o numerador tende a 2(1-0)=2 e o denominador tende a 4e^{0}=4. Portanto o limite das segundas derivadas é
\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Pela aplicação repetida da Regra de l’Hôpital, concluímos que o limite original existe e vale \tfrac{1}{2}. A indeterminação inicial era do tipo \frac{0}{0}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2} \
Indeterminação: \displaystyle \frac{0}{0}

Exercícios relacionados