Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
e também que eu identifique o tipo de indeterminação, se houver. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - Devemos analisar o comportamento quando
.
Avaliação direta em
:
- Numerador em
: . - Denominador em
: .
Portanto, ao substituir
obtemos a forma
, ou seja, há uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o numerador usando uma identidade trigonométrica clássica. A identidade é
Explicando: pela identidade pitagórica
, subtraindo
de ambos os lados obtemos a igualdade acima. Então a expressão do limite fica
Passo 3
Como temos a indeterminação
, um método apropriado é a Regra de l’Hôpital. Vou usar l’Hôpital porque é um procedimento direto: se
e
e as derivadas
e
existem numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então, quando o limite de
existe (ou é
), temos
Aqui aplicaremos l’Hôpital repetidas vezes se necessário. Antes de aplicar, já temos
e
.
Passo 4
Calculemos as primeiras derivadas (vou explicar as regras usadas):
- Para
: usamos a regra da cadeia. Se então e . Logo
- Para
: derivada de pela regra da cadeia é ; derivada de é ; derivada de constante é . Então
Agora consideramos o limite das derivadas:
Avaliação direta em
: numerador
, denominador
. Ainda temos indeterminação
. Portanto aplicamos l’Hôpital novamente.
Passo 5
Calculamos as segundas derivadas (derivando
e
):
-
Para
: usamos a regra do produto ou a identidade . Vou mostrar com produto para ser didático.
Produto. Derivada .
Multiplicando pelo fatorobtemos Comentário sobre as etapas: usei a regra do produto, com e . -
Para
: derivando temos (derivada de é ; derivada de é ).
Agora consideramos o limite das segundas derivadas:
Passo 6
Avaliação em
:
e
, então o numerador tende a
e o denominador tende a
. Portanto o limite das segundas derivadas é
Pela aplicação repetida da Regra de l’Hôpital, concluímos que o limite original existe e vale
. A indeterminação inicial era do tipo
.
Resposta
Indeterminação: