Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que devemos observar:
- A expressão é a razão entre um numerador e um denominador, ambos funções de
. - Ao substituir
: e - Portanto a forma é
, ou seja, há uma indeterminação do tipo .
A partir daqui vamos resolver o limite mostrando passo a passo as técnicas necessárias.
Passo 2
Estratégia e ferramenta principal: vamos usar séries de Taylor (desenvolvimentos em série de potências) em torno de
para cada função envolvida, porque isso mostra claramente os termos dominantes quando
é pequeno. Vou explicar as séries que usaremos e por que:
- A série de Taylor de
em torno de (válida para todos ) é
Aqui cada termo é
. É útil até a ordem necessária para comparar com o denominador.
- A série de Taylor de
em torno de é
Note que não há termo em
nem em
nesta expansão.
- A série de Taylor de
em torno de é
Para
substituímos
na série de
:
Motivo da ordem: o denominador é
, que se comporta como
quando
. Então precisamos expandir o numerador até, no mínimo, termos em
para obter o coeficiente dominante do quociente; termos de ordem superior só influenciam no desenvolvimento, mas não no limite final. Ainda assim vou manter termos até
ou
quando for conveniente para clareza.
Passo 3
Desenvolvendo o numerador com as séries (vou substituir
por
nas fórmulas):
Usando as séries:
Agora substituímos e agrupamos termo a termo:
Agora cancelações e soma dos coeficientes por potências de
:
- Termo constante (
): . - Termo em
: . - Termo em
: - Termo em
: - Termo em
(apenas para controle):
Portanto, o numerador tem o desenvolvimento
Passo 4
Agora desenvolvemos o denominador
. Começamos com
. Ao quadrar,
Calculando até ordem
:
Assim
Passo 5
Formando o quociente pelo desenvolvimento assintótico: dividimos numerador e denominador por
(já que ambos começam em
):
quando
, os termos com
e de ordem superior desaparecem, restando
Passo 6
Comentário didático rápido (método alternativo): como a forma era
, poderíamos também aplicar a Regra de L’Hôpital. Fazendo duas derivações sucessivas (porque a primeira aplicação ainda dá
) obtém-se:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
Avalia emdá ainda, aplicar L’Hôpital novamente: - Segunda derivada do numerador:
, que em vale . - Segunda derivada do denominador:
, que em vale .
Então o quociente é, mesmo resultado que obtivemos com séries. Isso confirma e dá confiança no resultado.