Questão 1. Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-\operatorname{sen}(x)-\cos (2 x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\operatorname{sen}(x)-\cos(2x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}.
Informações dadas e o que devemos observar:
  • A expressão é a razão entre um numerador e um denominador, ambos funções de x.
  • Ao substituir x=0: e^{0}-\operatorname{sen}(0)-\cos(0)=1-0-1=0,e \operatorname{sen}^{2}(0)=0^{2}=0.
  • Portanto a forma é \frac{0}{0}, ou seja, há uma indeterminação do tipo 0/0.
    A partir daqui vamos resolver o limite mostrando passo a passo as técnicas necessárias.

Passo 2

Estratégia e ferramenta principal: vamos usar séries de Taylor (desenvolvimentos em série de potências) em torno de x=0 para cada função envolvida, porque isso mostra claramente os termos dominantes quando x é pequeno. Vou explicar as séries que usaremos e por que:
  • A série de Taylor de e^{x} em torno de 0 (válida para todos x) é
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots.
Aqui cada termo é \frac{x^{n}}{n!}. É útil até a ordem necessária para comparar com o denominador.
  • A série de Taylor de \sin x em torno de 0 é
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + \cdots.
Note que não há termo em x^{2} nem em x^{4} nesta expansão.
  • A série de Taylor de \cos x em torno de 0 é
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots.
Para \cos(2x) substituímos 2x na série de \cos:
\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^{2}}{2} + \frac{(2x)^{4}}{24} + \cdots = 1 - 2x^{2} + \frac{16x^{4}}{24} + \cdots = 1 - 2x^{2} + \frac{2}{3}x^{4} + \cdots.
Motivo da ordem: o denominador é \sin^{2}x, que se comporta como x^{2} quando x\to 0. Então precisamos expandir o numerador até, no mínimo, termos em x^{2} para obter o coeficiente dominante do quociente; termos de ordem superior só influenciam no desenvolvimento, mas não no limite final. Ainda assim vou manter termos até x^{3} ou x^{4} quando for conveniente para clareza.

Passo 3

Desenvolvendo o numerador com as séries (vou substituir \operatorname{sen} por \sin nas fórmulas):
e^{x}-\sin x - \cos(2x).
Usando as séries:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots,
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}+\cdots,
\cos(2x)=1 - 2x^{2} + \frac{2}{3}x^{4} + \cdots.
Agora substituímos e agrupamos termo a termo:
\begin{aligned} e^{x}-\sin x - \cos(2x) &= \big(1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{4}}{24}+\cdots\big) \\\ &\quad -\big(x - \tfrac{x^{3}}{6} + \cdots\big) -\big(1 - 2x^{2} + \tfrac{2}{3}x^{4} + \cdots\big). \end{aligned}
Agora cancelações e soma dos coeficientes por potências de x:
  • Termo constante ( x^{0}): 1 - 0 - 1 = 0.
  • Termo em x: +x - x - 0 = 0.
  • Termo em x^{2}: \tfrac{x^{2}}{2} - 0 -(-2x^{2}) = \tfrac{x^{2}}{2} + 2x^{2} = \tfrac{5}{2}x^{2}.
  • Termo em x^{3}: \tfrac{x^{3}}{6} - (-\tfrac{x^{3}}{6}) + 0 = \tfrac{x^{3}}{6} + \tfrac{x^{3}}{6} = \tfrac{1}{3}x^{3}.
  • Termo em x^{4} (apenas para controle): \tfrac{x^{4}}{24} - 0 - \tfrac{2}{3}x^{4} = \big(\tfrac{1}{24}-\tfrac{16}{24}\big)x^{4} = -\tfrac{15}{24}x^{4} = -\tfrac{5}{8}x^{4}.
Portanto, o numerador tem o desenvolvimento
e^{x}-\sin x - \cos(2x) = \frac{5}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{5}{8}x^{4} + \cdots.

Passo 4

Agora desenvolvemos o denominador \sin^{2}x. Começamos com \sin x = x - \tfrac{x^{3}}{6} + \tfrac{x^{5}}{120}+\cdots. Ao quadrar,
\sin^{2}x = \big(x - \tfrac{x^{3}}{6} + \cdots\big)^{2}.
Calculando até ordem x^{4}:
\sin^{2}x = x^{2} - 2\cdot x\cdot \tfrac{x^{3}}{6} + \text{(termos de ordem }\ge x^{6}\text{)} = x^{2} - \tfrac{1}{3}x^{4} + \cdots.
Assim
\sin^{2}x = x^{2}\Big(1 - \tfrac{1}{3}x^{2} + \cdots\Big).

Passo 5

Formando o quociente pelo desenvolvimento assintótico: dividimos numerador e denominador por x^{2} (já que ambos começam em x^{2}):
\frac{e^{x}-\sin x - \cos(2x)}{\sin^{2}x} = \frac{\tfrac{5}{2}x^{2} + \tfrac{1}{3}x^{3} + \cdots}{x^{2}\big(1 - \tfrac{1}{3}x^{2} + \cdots\big)} = \frac{5}{2} + \frac{1}{3}x + \cdots
quando x\to 0, os termos com x e de ordem superior desaparecem, restando
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\sin x - \cos(2x)}{\sin^{2}x} = \frac{5}{2}.

Passo 6

Comentário didático rápido (método alternativo): como a forma era 0/0, poderíamos também aplicar a Regra de L’Hôpital. Fazendo duas derivações sucessivas (porque a primeira aplicação ainda dá 0/0) obtém-se:
  • Derivada do numerador: e^{x}-\cos x + 2\sin(2x).
  • Derivada do denominador: 2\sin x\cos x=\sin(2x).
    Avalia em x=0 0/0 ainda, aplicar L’Hôpital novamente:
  • Segunda derivada do numerador: e^{x}+\sin x + 4\cos(2x), que em 0 vale 1+0+4=5.
  • Segunda derivada do denominador: 2\cos(2x), que em 0 vale 2.
    Então o quociente é 5/2, mesmo resultado que obtivemos com séries. Isso confirma e dá confiança no resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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