Questão 6. Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x-\sqrt[3]{2+3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(x-\sqrt[3]{2+3x^{2}}\Bigr).
O conteúdo aqui é análise de infinito e uso de fatoração para identificar o crescimento relativo de x e de \sqrt[3]{2+3x^{2}}.

Passo 2

Observe que
\sqrt[3]{2+3x^{2}} =\bigl(3x^{2}+2\bigr)^{\!1/3} =x^{2/3}\,\bigl(3+\tfrac{2}{x^{2}}\bigr)^{\!1/3}.

Passo 3

Também podemos escrever
x = x^{2/3}\,x^{1/3}.
Isso permite isolar um fator comum x^{2/3} em toda a expressão do limite.

Passo 4

Reescrevendo o limite com esse fator comum, temos
x-\sqrt[3]{2+3x^{2}} = x^{2/3}\,\bigl(x^{1/3}-(3+\tfrac{2}{x^{2}})^{\!1/3}\bigr).

Passo 5

Quando x\to+\infty, temos x^{1/3}\to+\infty e (3+2/x^{2})^{1/3}\to3^{1/3}, logo
x^{1/3}-(3+\tfrac{2}{x^{2}})^{\!1/3}\to+\infty.
Além disso x^{2/3}\to+\infty. O produto de duas quantidades que tendem a +\infty também tende a +\infty.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\Bigl(x-\sqrt[3]{2+3x^{2}}\Bigr)=+\infty.

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