Questão 6. Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \log (2 x+1)-\log (x+3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite no infinito da diferença de logaritmos
\lim_{x\to+\infty}\bigl[\log(2x+1)-\log(x+3)\bigr].
Vamos usar a propriedade de logaritmos \log a - \log b = \log\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr), o cálculo de limites de funções racionais no infinito e a continuidade do logaritmo natural.

Passo 2

Aplicando a propriedade de diferença de logaritmos, temos
\log(2x+1)-\log(x+3) =\log\!\bigl(\tfrac{2x+1}{\,x+3}\bigr).

Passo 3

Para calcular o limite interior, analisamos a função racional
\frac{2x+1}{x+3} =\frac{2 + \tfrac{1}{x}}{1 + \tfrac{3}{x}}.
Quando x\to+\infty, os termos \tfrac{1}{x} e \tfrac{3}{x} tendem a zero, logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x+3}=2.

Passo 4

Como o operador \log é contínuo em (0,\infty), podemos levar o limite para dentro do logaritmo:
\lim_{x\to+\infty}\log\!\bigl(\tfrac{2x+1}{x+3}\bigr) =\log\!\Bigl(\lim_{x\to+\infty}\tfrac{2x+1}{x+3}\Bigr) =\log(2).

Resposta

\log(2)

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