Questão 6. Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{3}+7 x-3}{x^{4}-2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{3}+7x-3}{x^{4}-2x+3}.
Este é um limite no infinito de uma função racional. Para resolvê-lo, vamos comparar os graus do polinômio do numerador e do denominador.

Passo 2

Observe que o numerador tem grau 3 (termo dominante 2x^3) e o denominador tem grau 4 (termo dominante x^4). Sempre que, em uma função racional, o grau do denominador é maior que o do numerador, a fração tende a zero no infinito, pois o denominador cresce mais rápido que o numerador.

Passo 3

Para ver isso de forma algébrica, divida numerador e denominador por x^4, o maior grau que aparece:
\frac{2x^{3}+7x-3}{x^{4}-2x+3} = \frac{\frac{2x^{3}}{x^{4}} + \frac{7x}{x^{4}} - \frac{3}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{2x}{x^{4}} + \frac{3}{x^{4}}} = \frac{\frac{2}{x} + \frac{7}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}}.
À medida que x\to+\infty, todos os termos que têm x no denominador vão a zero, ficando
\frac{0 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = 0.

Resposta

0

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