Questão 3. Calcule os seguintes limites.
ll e) lim x 1 x^50-1x^101-1 & f1) lim x 2 raiz[3]x-raiz[3]2x-2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois limites que caem na forma indeterminada 0/0: e) limxto1x^50-1x^101-1 e f1) limxto2raiz[3]x-raiz[3]2x-2. Vamos usar fatoração e definição de derivada para resolver.

Passo 2

Para o limite e) note que substituindo x=1 o numerador e denominador viram 0. Usamos a identidade de fatoração x^n-1=(x-1)(1+x+cdots+x^n-1):
x^50-1x^101-1 =(x-1)(1+x+cdots+x^49)(x-1)(1+x+cdots+x^100)
Cancelando x-1 e deixando xto1 temos
1+1+cdots+11+1+cdots+1=50101

Passo 3

Para o limite f1) a forma também é 0/0. Reconhecemos a expressão como a definição da derivada da função f(x)=x^1/3 em x=2:
f'(x)=13x^2/3Longrightarrow f'(2)=13cdot2^2/3
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Resposta

e) 50101, f1) 13,2^2/3

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