Questão 6. Seja
um número real. Prove que:
c) Dê um exemplo onde
mas não existe
.
c) Dê um exemplo onde
Passo 1
A questão pede um exemplo claro em que $\lim_{x\to p}|f(x)| = |L|$ exista mas $\lim_{x\to p}f(x)$ não exista. O conteúdo envolve compreensão de limites laterais e valor absoluto de funções.
Passo 2
Vamos escolher qualquer real \L\ diferente de zero e definir uma função f de modo que ela oscile entre L e -L ao se aproximar de p. Definimos:
(O valor de f§ é irrelevante para o limite e pode ser definido arbitrariamente.)
Passo 3
Agora vamos calcular o limite de $|f(x)|$ quando $x$ se aproxima de $p$. Para $x>p$ temos $|f(x)|=|L|$ e para $x<p$ também $|f(x)|=|-L|=|L|$. Logo, independentemente do lado de onde $x$ se aproxima,
Passo 4
Porém, ao analisar $\lim_{x\to p}f(x)$, observamos os limites laterais:
- Pela direita ($x>p$), $\lim_{x\to p^+}f(x)=L$.
- Pela esquerda ($x<p$), $\lim_{x\to p^-}f(x)=-L$.
Como $L$ é diferente de $-L$, os limites laterais não coincidem, e portanto
não existe.
Passo 5
Com isso temos um exemplo onde $\lim_{x\to p}|f(x)| = |L|$ existe mas $\lim_{x\to p}f(x)$ não existe, mostrando exatamente o que era pedido.
Resposta
Uma escolha simples é:
com L\neq 0. Então
$\lim_{x\to p}|f(x)|=|L|$ existe, mas $\lim_{x\to p}f(x)$ não existe.
$\lim_{x\to p}|f(x)|=|L|$ existe, mas $\lim_{x\to p}f(x)$ não existe.