Questão 6. Seja L um número real. Prove que:
c) Dê um exemplo onde lim x p|f(x)|=|L| mas não existe lim x p f(x).

Passo 1

A questão pede um exemplo claro em que $\lim_{x\to p}|f(x)| = |L|$ exista mas $\lim_{x\to p}f(x)$ não exista. O conteúdo envolve compreensão de limites laterais e valor absoluto de funções.

Passo 2

Vamos escolher qualquer real \L\ diferente de zero e definir uma função f de modo que ela oscile entre L e -L ao se aproximar de p. Definimos:
f(x)= L, & x>p, -L, & x
(O valor de f§ é irrelevante para o limite e pode ser definido arbitrariamente.)

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de $|f(x)|$ quando $x$ se aproxima de $p$. Para $x>p$ temos $|f(x)|=|L|$ e para $x<p$ também $|f(x)|=|-L|=|L|$. Logo, independentemente do lado de onde $x$ se aproxima,
|f(x)|

Passo 4

Porém, ao analisar $\lim_{x\to p}f(x)$, observamos os limites laterais:
  • Pela direita ($x>p$), $\lim_{x\to p^+}f(x)=L$.
  • Pela esquerda ($x<p$), $\lim_{x\to p^-}f(x)=-L$.
    Como $L$ é diferente de $-L$, os limites laterais não coincidem, e portanto
limxto pf(x)
não existe.

Passo 5

Com isso temos um exemplo onde $\lim_{x\to p}|f(x)| = |L|$ existe mas $\lim_{x\to p}f(x)$ não existe, mostrando exatamente o que era pedido.

Resposta

Uma escolha simples é:
f(x)= L, & x>p, -L, & x
com L\neq 0. Então
$\lim_{x\to p}|f(x)|=|L|$ existe, mas $\lim_{x\to p}f(x)$ não existe.

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